张永兵（澧县职业中专学校湖南常德415500）
摘要：解析几何问题就是用代数方法去解决几何问题，涉及到代数、几何两方面的知识和方法。如何突破解析几何的疑难，培养学生的创造性思维能力，这是高中数学教师所面临的一个难题。
关键词：解析几何疑难解析
解析几何是高中数学的一个分支，是用代数方法研究平面几何问题的学科，是衔接初等数学和高等数学的纽带。它综合了平面几何、代数与三角函数等知识，是一门综合性很强的学科。
下面就常见的疑难试做浅析：
一、忽视倾斜角、斜率的取值范围致误
例1：已知定点A（-1，2）、B（2，3），直线：y=kx-1与线段AB恒相交，试求实数k的取值范围。
错解：因为直线恒过点P，则kPA=-3、kPB=2，所以实数k的取值范围是-3≤k≤2。
剖析：倾斜角为直角时，斜率不存在，所以需分倾斜角为锐角、钝角两种情况讨论。当直线的斜率k≥2时，与AB恒相交；当直线的斜率k≤-3时，与AB恒相交；故实数k的取值范围为（-∞，-3]∪[2，+∞）。
二、忽视二次曲线的性质致误
例2：AB是抛物线y2=4x上的动弦，且|AB|=3，求线段AB的中点M到y轴的最小距离。
错解：分别过A、B及AB的中点M引准线x=-1的垂线，垂足依次为N1、N2、N，根据抛物线的定义有|AN1|=|AF|、|AN2|=|BF|，AB的中点M到y轴的距离为M点的横坐标xM，xM=|MN|-1=|AN1|+|BN2|/2-1=|AF|+|BF|/2-1≥|AB|-1=1/2。也就是说，当弦AB经过抛物线的焦点F时，弦AB的中点M到y轴的最小距离为。
剖析：因为抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）的长度为4，所以任意过抛物线焦点F的弦的长度不可能小于4，本题中的弦AB的长度为3，故弦AB不经过抛物线的焦点，这样就不能按照上述求法求AB的中点M到y轴的最小距离。
本题应考虑弦AB与对称轴x轴垂直的情形（一般情形，当|AB|为定长时，应通过求函数最值的方法求最小距离），当弦AB垂直于x轴时，以|y|=3/2代入y2=4x中，求得M点的横坐标为xM=9/19，所以线段AB的中点M到y轴的最小距离为。
例3：已知抛物线y2=x-a与圆x2+y2=1有公共点，求实数a的取值范围。
错解：将y2=x-a代入圆的方程x2+y2=1，得x2+x-a-1=0；
△=1+4（a+1）≥0=>a≥-5/4。
剖析：由x2+y2=1=>y2=1-x2≥0=>-1≤x≤1
y2=x-a=>a=x-y2=x2+x-1=（x+1/2）2-5/4。
当x=-1/2时，a最小值=-5/4；当x=1时，a最大值=1。
故实数a的取值范围是[-5/4,1]。
三、应用相关结论解题时应弄清结论应用的条件
例4：过点M（2，0）作直线与圆x2+y2=16交于A、B两点，求△AOB面积的最大值。
错解一：如图一，|OA|=|OB|=4；
S△AOB=1/2|OA||OB|sin∠AOB≤8sin∠AOB≤8；
所以△AOB面积的最大值为8。
错解二：如图二，设直线AB的倾斜角为a（0≤a<π），做OG⊥AB，G为垂足，则|OG|=|OM|sina=2sina，|AG|=|OA|2-|OG|2=24-sin2a。
∴S△AOB=4sina4-sin2a≤4sin2a+(4-sin2a)/2≤4×4/2=8。
剖析：对于第一种解法，△AOB面积的最大值怎么与点M的位置无关呢？当点M的位置趋向原点，则S△AOB趋于零，这里也仅当∠AOB=90°时，△AOB面积才能为8，此时△AOB是等腰直角三角形，AB=42，即原点O到AB的距离为22，大于|OM|=2，这是不可能的。
对于第二种解法，用不等式ab≤（当且仅当a=b时取等号），因此，△AOB面积等于8时，sin2a=4-sin2a，即sin2a=2，这是不可能的。正确答案：
S△AOB=4sina4-sin2a=4-sin4a+4sin2a
=4-（sin2a-2）2+4
令sin2a=t，则0<t≤1，S△AOB=4-（t-2）2+4
∴当t=1即sina=1，亦即a=90°时，△AOB的面积最大，为43。