复半定规划及其在系统和控制理论中的应用

论文摘要

近年来，人们意识到凸优化特别是半定规划在控制系统分析与设计中有着非常重要的应用。系统和控制理论中许多重要的问题，都可转化为具有线性目标函数、线性矩阵不等式约束的半定规划问题。由半定规划的对偶理论知，线性矩阵不等式的不可行等价于对偶优化问题存在，这些对偶问题反过来可以重新解释系统和控制中的一些结论，得到一些新的结果或对已有结果的新的证明。此外，求解凸优化问题最有效的算法是同时求解原问题和对偶问题，因此从对偶的角度研究系统理论有助于设计更有效的算法。 本文考虑复半定规划，即半定规划中实对称矩阵用Hermitian矩阵替代，并给出了它的一些应用。第一章概括介绍了线性矩阵不等式和半定规划的发展历史和现状以及本文的主要研究成果。第二章，我们将半定规划的一些结果推广到复半定规划，建立了复半定规划的Lagrange对偶理论和最优性条件，给出了求解控制论中大规模复半定规划问题的一个原始-对偶中心路径算法。因为复半定规划可以简化为半定规划问题，所以我们所得到的算法也具有多项式复杂性。第三章通过建立复线性矩阵不等式的择一性定理给出了系统和控制理论中两个关于李亚普诺夫不等式常见结果的证明。第四章则给出了本文的结论和展望。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 线性矩阵不等式的发展历史及现状
• 1.3 半定规划的发展历史及现状
• 1.4 本文的工作安排
• 第二章 复半定规划
• 2.1 基本概念和基本性质
• 2.2 复线性矩阵不等式
• 2.3 对偶理论
• 2.4 最优性条件
• 2.5 原始-对偶中心路径算法
• 2.6 复半定规划的转化
• 第三章 复半定规划对偶理论的应用
• 3.1 几个择一性定理
• 3.2 两个定理的证明
• 第四章 结论和展望
• 参考文献
• 致谢