论文摘要
单复变函数论中的Riemann映射定理解决了复平面上单连通区域的分类问题。找到极值是证明Riemann映射定理的关键。其中，Ω是C∞上至少有两个边界点的单连通区域，f是把Ω映到单位圆盘的全纯函数，（?）（Ω）表示所有这样的函数的集合。多复变函数论中的Riemann映射定理是不成立的，但类似的这种极值问题，仍有重要的研究价值。本文讨论了第三类Cartan-Hartogs域与单位超球间的Carathéodory极值问题，其主要结果是得到了从第三类Cartan-Hartogs域到单位超球的Carathéodory极值映照、极值和极值距离。第三类Cartan-Hartogs域的形式如下：这里RⅢ（q）代表华罗庚意义下的第三类Cartan域，Z是q阶斜对称方阵，Zt表示Z的转置，（?）表示Z的共轭，det表示矩阵的行列式，N为正整数，K为正实数。本文首先求出了YⅢ（N，q，K）的最小外切和最大内切Hermitian椭球的一般形式其中M=q（q-1）／2。然后根据YⅢ（N，q，K）的最小外切和最大内切Hermitian椭球在不同情况下的具体形式得到了以下结论：（1）当0＜K≤2[q／2]时，得到从YⅢ（N，q，K）到单位超球BN+M的Carathéodory极值映照、Carathéodory极值以及当2≤K≤2[q／2]时的Carathéodory极值距离。（2）当K＞2[q／2]时，得到从YⅢ（N，q，K）到单位超球BN+M的Carathéodory极值映照、Carathéodory极值和Caxathéodory极值距离。