论文摘要
本文研究非线性振动系统的分岔、混沌及相关控制,重点研究周期解相继地分岔、混沌的产生以及分岔与混沌的几个控制问题,全文共分九章。第一章是综述,介绍动力系统分岔与混沌的基础、动力系统周期解的稳定性与分岔理论、非线性振动系统的定量方法、非线性振动系统分岔与混沌的研究现状和主要的研究方法以及本文的研究工作;第二章提出了计算三维非线性自治系统极限环的一种新的摄动方法。此法采用改进的L-P（Lindstedt-Poincaré）法的思想,通过引入新的非线性参数变换以及适当的非线性频率展开,得到了三维非线性自治系统极限环的近似解析表达式,从而求得极限环振动的振幅与频率。典型算例表明:与传统的多尺度法、正规型方法相比,本章所提的方法具有运算推导简单、精度高、适用于高维非线性系统的优点。第三章提出了高维非线性自治系统极限环稳定性与分岔分析的一种半解析半数值方法。该方法基于增量谐波平衡法,结合动力系统周期解的稳定性与分岔理论,可用来考察控制参数连续变化下极限环的振幅与频率、个数、对称性以及周期性等动力学现象的相继变化。应用该法处理第二章讨论过的三维非线性反馈自治系统,得到了该系统极限环产生对称-破缺分岔、首次及第二次周期倍化分岔的分岔参数值以及确定参数状态下极限环（包括对称、非对称极限环及周期倍化极限环）的近似解析表达式。算例所得的结果与数值积分的结果相比,两者十分吻合,表明本方法的可靠性及高精度性。第四章分析了Mathieu-Duffing振子进入混沌的无穷多次周期倍化分岔过程,得到了周期解产生周期倍化分岔的系列分岔值、混沌产生的临界参数阈值以及周期倍化系列轨道的近似解析表达式,所得的结果与数值积分结果进行比较,两者结果十分吻合。第五章研究了Mathieu-Duffing振子混沌轨道的控制问题,基于开闭环控制的思想,设计了一类由周期外激力和线性误差反馈组成的控制器,给出了Mathieu-Duffing振子的混沌轨道至周期、高周期轨道的控制方案。同时,利用二阶常微分方程初值问题的比较定理,证明了一定条件下Mathieu-Duffing振子混沌轨道开闭环控制的全局吸引性。第六章研究了耦合混沌Mathieu-Duffing振子的同步问题,以“虚拟”的多谐波函数表示的周期轨道代替混沌轨道,应用Hill方程的稳定性理论,在单边和双边线性状态误差反馈控制器的作用下,分别获得了耦合混沌Mathieu-Duffing振子的同步区域;同时,在同步区域上对同步时间的动力学行为进行了分析,与前人以单谐波周期轨道代替混沌轨道的结果相比,本文方法的结果精度更高。第七章讨论了一类混沌传感器模型的同步判据及其优化问题,应用线性时变系统的稳定性理论与Gerschgorin定理,获得了传感器模型混沌同步的解析判据,同时,分别应用相似矩阵的性质与Lyapunov稳定性理论,在减小耦合系数下界的意义下,对上述的解析判据进行优化,得到了两类更优的判据。第八章讨论了非线性系统极限环振幅与频率的可控性,利用多尺度法分别计算了控制前后动力系统的正规型,从而获得确定参数状态下极限环的振幅、频率与反馈系数的解析关系,通过选择适当的反馈系数,可对极限环振的振幅与频率进行控制,以第二、三章讨论过的三维非线性系统为例,讨论了该系统极限环的可控性,比较了几类典型的线性、非线性误差反馈控制器的控制效果。第九章给出了本文的结论与工作的展望。