三维双曲型守恒律非结构网格最小二乘有限体积方法研究

论文摘要

双曲型守恒律方程组在流体力学、空气动力学、航空航天和生物学等领域都有着广泛的应用,一般情况下其解析解不存在,这就推动了此类方程数值方法的深入研究与发展,例如有限差分方法、有限元方法、有限体积方法等。有限体积方法离散方式灵活多样,适用于对复杂区域进行复杂问题的计算,目前已成功运用于计算流体力学、气象学、计算电磁学、半导体计算以及计算生物学等工程领域。考虑到双曲型守恒律方程组的解中包含激波、接触间断等特征,即在局部区域物理量发生突变,因此网格和算法的局部自适应技术在此类方程中的应用也得到了广泛关注。鉴于以上讨论,本文针对三维Euler方程,在非结构四面体网格及移动网格上发展了一类非振荡有限体积方法。本文主要工作如下:1、对于三维双曲型守恒律,介绍了有限体积方法的基本原理、网格和控制体、TVD型Runge-Kutta时间离散方法、数值流通量等内容。2、构造了一类在非结构四面体网格上求解三维Euler方程的非振荡有限体积方法。采用时空分离方法,空间上以每个四面体单元作为控制体,采用Roe通量（或HLLC通量）进行离散,同时为提高数值精度,运用最小二乘方法通过求解超定线性方程组来重构每个四面体网格上物理量的线性插值多项式,并添加限制器以使其满足半离散形式的局部极值原理;时间上采用两步Runge-Kutta TVD方法进行离散。在保证高分辨率的前提下,在空间计算时该方法比照ENO格式避免了模板的选取,极大减少了计算量。3、讨论了一种基于弹簧振子的三维移动网格方法,并将上述非振荡有限体积方法成功应用于该移动网格上,同时找到了一种守恒的加权重构方法对每个时间步网格上的守恒物理量进行更新。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 问题背景
• 1.2 本文的主要工作
• 第二章 双曲型守恒律方程有限体积方法
• 2.1 双曲型方程数值方法简介
• 2.2 有限体积方法的研究与发展
• 2.3 三维双曲型守恒律方程有限体积方法的基本原理
• 2.3.1 三维双曲型守恒律的数学模型
• 2.3.2 三维双曲型守恒律的有限体积法的框架
• 2.3.3 关于数值流通量
• 2.3.4 网格和控制体
• 第三章 三维Euler 方程的非结构网格非振荡有限体积法
• 3.1 引言
• 3.2 空间离散
• 3.2.1 重构函数的构造
• 3.2.2 最小二乘思想的引用
• 3.2.3 数值流通量
• 3.2.4 边界条件的处理
• 3.3 时间离散
• 3.3.1 TVDRunge-Kutta 时间离散
• 3.3.2 稳定性条件
• 3.4 数值模拟结果
• 3.5 小结
• 第四章 基于弹簧振子的移动网格方法及其在求解三维Euler 方程中的应用
• 4.1 引言
• 4.2 基于弹簧振子的移动网格方法
• 4.3 函数值的更新
• 4.4 数值模拟结果
• 4.5 小结
• 结论
• 致谢
• 参考文献
• 硕士阶段主要工作