非线性发展方程求解中的几种构造方法

论文摘要

本文主要作了以下两个方面的研究:首先,提出和改进了一些求解非线性发展方程精确解的方法,并在符号计算软件Maple的帮助下予以机械化实现.其次,研究了BB方程的达布变换.本文由四章组成:第一章主要介绍了本文所涉及的学科的发展历史及研究现状.最后介绍了本文的选题和主要工作.第二章基于非线性发展方程求解代数化、算法化、机械化的指导思想,首先提出一种新的扩展的第一类椭圆方程方法,并以Konopelchenko ? Dubrovsky方程组为例来说明该方法的有效性,获得了大量新的有重要物理意义的精确解,其中包括钟型和扭结型孤波解,三角周期波解等.其次,提出一种新的三Riccati方程展开法,并将其应用到微分-差分方程中,以离散KdV方程为例,得到了该方程的新的精确孤波解.最后,利用投影Riccati方程方法和双曲函数型辅助方程方法,求出一个已知常微分辅助方程的有意义的精确解（Jacobi椭圆函数解、Weierstrass椭圆函数解、三角函数解等）,再利用一个合适的变换和这个常微分辅助方程,就可以得到一类变系数发展方程（如变系数KP方程和变系数KdV方程）的解.第三章成功的构造出了BB方程的一个新的达布变换.利用这个达布变换可以获得BB方程的新的孤子解和多孤子解.第四章我们对全文做了一个总结并指明了今后的研究方向.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 引言
• 1.1 孤立子研究的历史和发展概况
• 1.2 非线性发展方程（组）精确求解的发展情况
• 1.3 非线性发展方程（组）的孤立波解
• 1.4 本文的选题和主要工作
• 2 非线性发展方程（组）的精确解
• 2.1 几个重要的非线性发展方程及其精确解的重要物理意义
• 2.2 新的扩展的第一类椭圆方程方法及其应用
• 2.3 新的三Riccati方程展开法及其在微分-差分方程中的应用
• 2.4 一类变系数非线性发展方程的精确解的一种求法
• 3 Darboux变换
• 3.1 Darboux变换的基本思想
• 3.2 Boussinesq-Burgers方程的达布变换
• 3.3 Boussinesq-Burgers方程的孤立子解
• 4 总结与展望
• 参考文献
• 致谢