时标意义下一阶线性发展方程及其一类最优控制问题

论文摘要

在现实生活中，我们用数学方法来处理各种自然现象中的问题时，不仅会碰到连续的问题，而且还会碰到离散的问题，甚至一个问题当中既有连续的成分，又有离散的成分，或者此问题到底是连续问题还是离散问题，我们并不清楚。这给我们的研究带来了不便。为了统一离散分析和连续分析，Stefan Hilger于1988年在他的博士论文中提出了时标的概念。由于时标在物理学、化学技术、经济学、种群动态、神经网络、社会科学上的应用，近年来受到了广泛的关注。如生物学中，某一种昆虫的数量在某一季节连续地增长，在冬季死亡。它们的虫卵就冬眠，在下一季节孵化成虫。它们的繁殖时间是有间隔的，是不连续的。只有在时标上来进行研究。对于通常意义下的最优控制问题，有许多人已经研究过，并且取得了很好的结果。但是在时标意义下，最优控制问题至今还没有人研究过。本论文主要是针对一阶线性发展方程及其最优控制问题进行研究。在第二章，我们主要回顾了时间标度上的一些基本运算，包括基本概念，微分，积分，广义的指数函数，三角函数，多项式和一些例题。第三章考虑了在时标意义下的Banach空间和Arzela-Ascoli定理，定义了Crd（[a,b]，R）和Lt2（[a，b]，R）空间，同时给出了它们的完备性；广义的Arzela-Ascoli定理也给出了证明。在第四章，我们给出了一阶线性动力方程的古典解的存在性及其唯一性和动力方程的应用及其一些特殊情况下的解，引入了一阶线性动力方程的弱解，导出了一阶线性动力方程的共轭方程及其两者之间重要的关系。最后，第五章考虑了时标意义下一阶线性发展方程的最优控制的存在性。在第六章，展望了后续的研究工作。

论文目录

• Abstract （Chinese）
• Abstract （English）
• Chapter 1 Introduction
• Chapter 2 The Time Scales Calculus
• 2.1 Basic Definitions
• 2.2 Differentiation
• 2.3 Integration
• 2.4 The Generalized Exponential Function
• 2.5 Trigonometric Functions
• 2.6 Polynomials
• 2.7 Examples
• Chapter 3 Banach Spaces and Arzela-Ascoli Theorem on Time Scales
• 3.1 The Banach Space on Time scales
• 3.2 Arzela-Ascoli Theorem on Time Scales
• Chapter 4 Linear Equations and Adjoint Equations
• 4.1 First Order Linear Dynamic Equations
• 4.2 Example and Applications
• 4.3 The Weak Solution of Linear Dynamic Equations
• 4.4 The Adjoint Equations
• Chapter 5 Optimal Control Problems on Time Scales
• 5.1 Controlled System
• 5.2 Existence of Optimal Control Problems
• Chapter 6 Further Research
• Acknowledgments
• Bibliography
• Appendix