解不适定算子方程的正则化梯度法

解不适定算子方程的正则化梯度法

论文摘要

本文主要研究用正则化迭代梯度法求解不适定非线性算子方程.讨论了算法的收敛性和稳定性,以及算法的预处理.第二章针对如下类型的非线性不适定算子方程在整个算子F都带有误差的情况下,即只能得到算子F的近似F,而方程的解关于算子误差δ是不连续的(即不适定),构造如下修正迭代梯度法在一般非线性假设或者修正的源条件下,无论采用后验准则还是先验准则,算法是收敛的,关于误差是稳定的.在修正的源条件下,如果采用先验停止准则,算法具有最优收敛阶.算子P可以具有某种物理意义.数值结果表明,算子P的引入可以提高算法的性能.第三章讨论了上述迭代算法的连续形式,即渐近正则化方法在修正源条件下,无论算法采用先验停止准则还是后验停止准则,该渐近正则化方法是稳定的和收敛的.并且如果采用先验停止准则,则算法具有最优收敛阶.根据该方法,通过求解上述动力系统的数值方法,可以构造出许多其它迭代算法.第四章针对如下非线性不适定算子方程误差只出现在方程的右边项.利用Hilbert尺度构造了一个预处理迭代梯度法.理论分析和数值结果表明,该预处理方法大大提高了算法性能.

论文目录

  • 摘要
  • ABSTRACT
  • 目录
  • 第一章 绪论
  • 1.1 非正则算子方程及其不适定性
  • 1.2 则化方法
  • 1.3 一些基本的正则化方法
  • 1.3.1 TIKHONOV正则化方法
  • 1.3.2 LANDWEBER迭代法
  • 1.3.3 广义NEWTON迭代法
  • 1.4 本文的主要工作
  • 第二章 迭代正则化梯度法的稳定性和收敛性
  • 2.1 引言
  • 2.2 算法的稳定性分析
  • 2.3 源条件下的收敛性结果
  • 2.3.1 先验准则
  • 2.3.2 后验准则
  • 2.4 算法的有限维近似
  • 2.4.1 先验准则
  • 2.4.2 后验准则
  • 2.5 数值实验
  • 2.5.1 例1
  • 2.5.2 例2
  • 2.6 小结
  • 第三章 渐近正则化梯度法
  • 3.1 引言
  • 3.2 渐进正则化梯度法的收敛性结果
  • 第四章 预处理迭代梯度法
  • 4.1 引言
  • 4.2 HILBERT尺度和改变的HILBERT尺度
  • 4.3 收敛性分析
  • 4.4 在有限维空间中近似
  • 4.5 数值实验
  • 结论
  • 参考文献
  • 致谢
  • 攻读学位期间所完成的学术论文目录
  • 攻读学位期间参与的项目
  • 相关论文文献

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