陕西省汉中市武乡中学723000
摘要：所谓开放性试题是相对于命题的结构而言的，即从命题给定的题设中探究相应的结论，加以证明或从给定的命题中探究其相应的必须具备的条件的一类试题称为开放性试题。开放性试题已知条件都比较隐蔽，结论也不直接给出，这要求学生通过观察、比较、分析、归纳、联想、概括、类比、推理和判断等一系列思维探究活动，逐步得出结论。
关键词：高考数学开放型试题
开放性试题知识覆盖面较广、综合性较强、灵活性更强，它具有多向性、变异性的特点，有利于培养和考察考生的创造性思维能力和探索性思维能力，它在思维方面注重举一反三、触类旁通的特点，所以此类试题已成为近几年高考的热点之一。
一、条件探索型试题
条件探索型试题就是命题中的结论明确，探索使结论成立的充分条件的试题。解决这类试题的方法有两种：一种是将题设和结论作为已知条件，逐步探索，找出结论成立的所需条件；一种是假设题目中指定的探索条件为已知条件，并结合其他题设进行推理，如果能正确推理出结论，则此探索条件就为题设条件。
如1：（2011陕理12）设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=【3或4】。
简解：△=16-4n≥0,又n∈N+,所以n=1,2,3,4。又由x2-4x+n=0可变为(x-2)2=4-n,从而经检验可知x=3或4时存在x为整数满足上式成立。
二、结论探索型试题
结论探索型试题就是命题中的结论不确定、不唯一。解决这类试题的方法有三种：一种是直接利用已知条件进行推理得出结论；一种是通过归纳得出一般性结论，然后再证明：一种是对多种结论优化。
如2：(2013北理19）已知A、B、C是椭圆W：＋y2=1上的三个点，O是坐标原点。(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积。(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。
简解：（1）线段OB的垂直平分为x=1，因此|AC|=3，进而菱形面积为|OB|·|AC|=×2×3=3。（2）四边形OABC不可能是菱形.只需要证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。设OA=OC=r，则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆W的交点，因此＝r2-1。故结论得证。
三、规律探索型试题
规律探索型试题就是从命题给出的多个具体的关系式中，通过观察、归纳、分析、比较得出一般规律的命题。解决这类试题的方法是通过题目的变化规律猜想出结论，然后验证再证明。
如3：（2012陕文12）观察下列不等式：1＋<，1+＋<，1+＋＋<，……照此规律，第五个不等式为【1＋＋＋＋＋<】。
如4：（2011陕文13）观察下列等式1=1,2+3+4=9，3+4+5+6+7=25，4+5+6+7+8+9+10=49，照此规律，第五个等式为【5+6+7+8+9+10+11+12+13=81】。
四、存在探索型试题
存在探索型试题就是在一定的条件下判断某种对象是否存在，或证明存在，或证明一定不存在的试题。解决这类试题的方法一般是先假设指定的对象存在，再进行演绎推理，若推出矛盾，则假设不成立，若推出结果，则假设成立，则指定对象存在。
如5：（2010陕理20）如图，椭圆C：+＝1的顶点为A1,A2,B1,B2焦点为F1,F2,|A1B1|=7，S·A1B1A2B2=2S·B1F1B2F2。
(Ⅰ)求椭圆C的方程。
(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，|OP|=1，是否存在上述直线l使AP·PB=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
解：（I）由|A1B1|=7知a2+b2=7,又由S·A1B1A2B2=2c,再由b2=a2-c2得：a2=4,b2=3,所以椭圆方程为＋＝1。
（II）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)，假设AP·PB=1使成立的直线l不存在，
(i)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且|OP|=1得=1，即m2=k2+1。
∵AP·PB=1，|OP|=1，
∴OA·OB=（OP+PA）·（OP+PB）
=OP2+OP·PB+PA·OP+PA·PB
=1+0+0-1=0，
即x1x2+y1y2=0。
将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+（4m2-12）=0，由求根公式可得x1+x2=,④x1x2=，⑤0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，
将④，⑤代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0，⑥将m=1+k2代入⑥并化简得-5(k2+1)，矛盾。即此时直线l不存在。
(ii)当l垂直于x轴时，满足|OP|=1的直线l的方程为x=1或x=-1,当x=1,A,B,P的坐标分别为(1,),(1,-),(1,0),∴AP=（0，-）,BP=（0，-），∴AP·PB=≠1，当x=-1时，同理可得AP·PB≠1，矛盾。即此时直线l不存在。综上可知，使AP·PB=1成立的直线l不存在。