一阶偏差分方程的混沌化

论文摘要

混沌控制是目前混沌研究方面的主要研究课题之一。它主要有两个研究方向：混沌的控制（control of chaos）和混沌的反控制（anti-control of chaos）。使原来混沌的系统变的不混沌或稳定的过程称为混沌的控制。在过去的几十年里，人们认为混沌是有害的，所以总是设法使原混沌系统稳定化，因而混沌的控制研究得到了迅速发展。混沌的反控制又称为混沌化（chaotification）。是指一个使原来不混沌的动力系统产生混沌或者使原来混沌的系统产生更强的或不同类型的混沌的过程。最近，人们发现在某些特定情况下混沌是非常有用的。例如，在编密码（encryption）、保密通讯、人脑分析和心跳规律等方面。在离散动力系统的混沌化研究方面，G．Chen和D．Lai于1996年首次提出了一个严格的混沌化方法-反馈控制（feedback control）法。他们证明了受控系统的Lyapounov指数都是正的，且当原系统为线性时经过取模运算后的受控系统在Devaney意义下混沌，当原系统为非线性时受控系统在Wiggins意义下混沌。随后，汪小帆和G．Chen用Marotto定理进一步证明了Chen-Lai格式对应的受控系统在Li-Yorke意义下混沌。最近，史玉明、P．Yu和G．Chen建立了一般Banach空间中离散动力系统的几个混沌化格式，利用耦合扩张理论（coupled-expanding theory）和返回扩张不动点理论（snap-back repeller theory）证明了受控系统在Devaney和Li-Yorke意义下混沌。另外，他们将有限维欧氏空间中的经由反馈控制的取模运算的Chen-Lai算法和带锯齿函数的Wang-Chen算法拓展到了Banach空间l∞中，并证明了受控系统在Rk（k＜∞）和l∞中同时在Devaney、Li-Yorke和Wiggins意义下混沌。史玉明和G．Chen还给出了几个有限维空间中由连续映射诱导出的离散动力系统的混沌化格式。G．Chen和史玉明在文献中总结了最近几年关于离散动力系统的混沌化问题的研究进展。众所周知，连续系统用微分方程来描述，采样系统（如国民收入、产品的产量等）却不能用微分方程来描述，而只能用差分方程来描述；另一方面，一般非线性微分方程的精确解是无法求出的，因此常采用将其离散化即转变成差分方程求其近似解。偏差分方程经常出现在工程应用中，特别是在数字滤波、成像和空间动力系统（参见及相关文献）等领域。关于差分方程解的稳定性研究在文献[23，第6章]中有详细的介绍。G．Chen和刘树棠首次通过构造具有特定周期的空间周期轨的分析方法证明了一阶偏差分方程在R3中在Li-Yorke意义下混沌。一个非常有意义的工作是G．Chen、田传俊和史玉明首次将一阶偏差分方程转化成下列离散系统：xn+1=f（xn），n≥0。从而，离散动力系统的一些方法和结果便可以运用到一阶偏差分方程中。运用这一方法，史玉明建立了一阶偏差分方程的几个混沌判定定理。最近，史玉明、P．Yu和G．Chen首次开始了一阶偏差分方程的混沌化研究，并利用锯齿函数给出了一阶偏差分方程的一种混沌化格式，证明了受控系统在Devaney和Li-Yorke意义下混沌。据我们所知，除了上述工作之外，在现有文献中尚未发现关于偏差分方程的其它混沌化格式。在本文中，我们在上述工作的基础上，继续开展对一阶偏差分方程混沌化问题的研究。本文主要讨论两方面的问题。一是离散动力系统的混沌化，二是一阶偏差分方程的混沌化。后者主要包括三个方面的内容：（一）当系统尺度为无穷时方程的混沌化格式；（二）当系统尺度有限且边界条件为周期边界条件时方程的混沌化格式；（三）当系统尺度有限但边界条件为非周期边界条件时方程的混沌化格式。因为在某些情况下（一）和（二）的混沌化格式的处理方法是类似的，而（二）和（三）的处理方法又有所不同，所以为叙述方便，我们把前两部分内容放在一起作为第二章，而把第三部分作为第三章。第一章主要研究了在某种特殊Banach空间上离散动力系统的混沌化问题。第二节为下面的研究工作做了一些必要的准备，即给出了一些记号、定义及引理。第三节依据返回扩张不动点理论建立了Banach空间（有限维或无穷维）中离散动力系统带一般控制器的两种混沌化格式，其条件比文献中定理3.1和3.2的条件弱。第四、五节用耦合扩张理论分别建立了有限维Banach空间中离散动力系统带模运算和锯齿函数的三种混沌化格式。在第二章中，我们利用第一章中所建立的混沌化格式，研究了一阶偏差分方程的系统尺度为无穷或有限但满足周期边界条件时的混沌化问题。建立了九种混沌化格式，其中有些格式要求的条件非常弱，即只需原函数在某一闭区间上连续且满足Lipschitz条件即可。最后以具体的例子和计算机仿真说明了用本文建立的混沌化格式产生的受控系统具有非常复杂的动力学行为。在第三章中，我们研究了当系统尺度有限时一阶偏差分方程在非周期边界条件下的混沌化问题。为使受控系统混沌，对边界条件加了一定的限制。本章建立了方程的五种混沌化格式。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 符号说明
• 第一章 离散动力系统的混沌化
• §1.1 引言
• §1.2 准备工作
• §1.2.1 基本概念及引理
• §1.2.2 混沌化问题的描述
• §1.3 带有一般控制器的混沌化格式
• §1.4 带有模运算的混沌化格式
• §1.5 带有锯齿函数的混沌化格式
• 第二章 一阶偏差分方程的混沌化
• §2.1 引言
• §2.2 准备工作
• §2.2.1 混沌化问题的描述
• §2.2.2 方程（2.1.1）的转化
• §2.2.3 基本概念
• §2.3 带有一般控制器的混沌化格式
• §2.4 带有模运算的混沌化格式
• §2.5 带有锯齿函数的混沌化格式
• §2.6 例子
• 第三章 具有一类非周期边界条件的一阶偏差分方程的混沌化
• §3.1 引言
• §3.2 主要结果
• §3.3 例子
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士期间发表和完成的论文
• 学位论文评阅及答辩情况表