论文摘要
经过近二十年的发展，倒向随机方程（Backward stochastic differential equation，简记为BSDE）理论已经逐渐成为概率论、随机分析理论中一个独特而重要的分支，特别是其在随机最优控制、随机微分对策、金融数学、经济学和偏微分方程（Partialdifferential equation，简记为PDE）理论中的重要应用．吸引了大批的数学家、经济学家和金融学家加入到对其研究的行列，倒向随机方程理论已经成为当前概率论及随机分析领域中热点方向之一。对一般的非线性BSDE的研究是从Pardoux和Peng在1990年发表的题为“Adapted solutions of backwardstochastic differential equations”的著名论文（见[117]）开始的．在文[117]中，Pardoux和Peng证明了当g关于（y．z）是一致Lipschitz连续时，方程（1）的解是存在唯一的。从那时起，有关BSDE研究的工作大量涌现。通常这些工作涉及到许多学科和领域，但是大体可以分为两大部分。第一部分主要是关于BSDE基本理论的，其中包括在不同形式的（比如，带反射的、正倒向的、泛函的、带跳的等等）、不同系数条件（一般为非Lipschitz）或终端条件下建立方程（1）的解的存在唯一性结果，例如，Pardoux-Peng[119，121]，El Karoui[49]，Kobylanski[90]，Lepeltier-San Martin[98]，El Karoui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Quenez[50]，Peng-Wu[147]，Wu [167]．Hu-Peng [69]，Peng-Yang[152]，Kohlmann-Tang [91，93]，Hu-Yong[71]，Hu [67]，Ma-Yong[105]，Mao[107]，Situ[155]和Briand-Delyon-Pardoux-Hu-Stoica[15]等等。这一部分还包括深入研究方程（1）解的各种重要性质以及相应的数值计算方法，比如比较定理、逆比较定理、表示定理、Jensen不等式和backward stochastic viability property等，例如，Peng[128]，Coquct-Hu-Memin-Peng[38]，Briand-Coquct-Hu-Memin-Peng[13]，Cao-Yan[21]，Wu[168]，Chen-Kulperger-Jiang[30]，Jiang[81]，Ma-Protter-Yong[104]，Ma-Zhang[106]，Buckdahn-Quincampoix-Rascanu[20]，Zhao-Chen-Peng[176]，Peng-Xu[148]和Gobet-Lemor-Warin[58]等等。第二部分当然也是更为重要的部分是关于BSDE理论在其他领域中的应用，BSDE理论在数学、经济学和金融学的众多方向得到应用。BSDE理论成功地应用到随机最优控制和随机微分对策理论中，例如，Peng[128，132]，Chen-Li-Zhou[23]，Lim-Zhou[99]，Liu-Peng[103]，Yong-Zhou[173]，Wu-Yu[170]．Kolmann-Tang[91，93]，和Kohhnann-Zhou[94]等等。更为重要的是，以El Karoui，Peng和Quenez在1997年的工作[51]为重要标志，BSDE理论在金融数学中的应用，特别是金融数学中的对冲理论、不完备市场的非线性定价理论中的应用引起了众多数学家和金融学家对BSDE理论的极大关注，例如，Cheu-Epstein[31]，Delbaen-Peng-Rosazza[45]，Duffie-Epstein[47]，El Karoui-Quenez[52]，Kohlmann-Tang[91，92]，Yong[172]，Barrieu-El Karoui[11]和Cvitanic-Karatzas[42]等等。另外1995年Peng通过BSDE定义的g-期望为经济学中备受关注的非线性数学期望理论的研究提出了一个崭新的思路，基于BSDE的g-期望已经成为非线性数学期望理论中一个重要的研究方向，例如，Peng[132-134，138-144]，Delbaen-Peng-Rosazza[45]，Chen-Epstein[31]，Coquet-Hu-Memin-Peng[39]，Briand-Coquet-Hu-Memin-Peng[13]，Chen-Kulperger-Jiang[30]，Chen-Peng[32，33]，Jiang-Chen[83]，Hu[68]和Rosazza[153]等等。与此同时，Peng还通过他发现非线性Feymann-Kac公式将BSDE理论和一大类半线性抛物型PDE紧密地联系起来，为PDE的研究提供一个有力的工具，关于这方向的工作很多，是BSDE理论的一个重要的组成部分，例如，Peng [127，132]，Pardoux-Peng[120]，El Karoui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Quenez[50]，Pardoux-Tang[123]，Barles-Buchdahn-Paroux[9]，Buckdahn-Hu[16]，Briand-Hu [14]，Pardoux[115]，Pardoux-Tang[123]和Kobylanski[90]等等。为叙述方便，我们将方程（1）记为（g，T，ζ），将其解记为(Ytg,T,ζ，Ztg,T,ζ)t∈[0，T]，另外将Ytg,T,ζ记为Et,Tg[ζ]。并假设对于任意（y，z）∈Rn×Rn×d，g（·，y，z）是平方可积的。下面是本文的章节目录：第1章引言；第2章系数为连续的BSDE；第3章系数为一致连续的BSDE及其相关的g-期望；第4章一类半线性抛物方程的概率解释；第5章g-凸函数、基于g-期望的Jensen不等式与backward stochastic viability prop- erty;第6章系数为不连续的BSDE。本文深入系统地研究了倒向随机微分方程理论中的一些基本问题，其中包括BSDE解的存在唯一性问题，BSDE解的重要性质；非线性Feymann-Kac公式问题，即PDE解的概率解释问题；g-期望理论中的许多基本问题等．并在以下方面取得了显著发展；一、第2章证明了倒向随机微分方程的Kneser定理；得到了倒向随机微分方程在仅为连续情形下系数的（不变）表示定理；建立了倒向随机微分方程在系数仅为连续情形下，解的唯一性和对终值和系数的连续依赖性的等价关系。（本章的Kneser定理部分已发表于法国C．R．Acad．Sci．见Jia-Peng[75]，连续依赖性定理部分也可参见Jia-Yu[78]）在本章中，我们总是假设n=1．Lepeltier-San Martin（1997）在g关于（y，z）是连续，且是线性增长的条件下，证明了方程（1）解的存在性，这时方程（1）的解可以是不唯一的。那么一个自然的问题就是，在这种情形下方程（1）的解有多少个?本文在第2章首先证明了定理2．2．1．假设g关于（y，z）是连续的，且是线性增长的。则方程（1）解集合的势要么是1，要么至少是连续统。这个结论并不是太让人吃惊，因为Kneser（1923）（或见Hartman[61，pp．15]）和Alexiewicz-Orlicz（1956）分别在研究ODEs和PDEs时就得到了类似的结果，所以我们称定理2．2．1为BSDE的Kneser定理，而且这个定理在Kobylanski（2000）研究的二次增长以及反射BSDE的情形下照常成立（见Jia-Xu[77]）．不过，由定理2．2．1证明过程得到的推论却非常让人感兴趣．推论2．2．4．假设g满足定理2．2．1中的条件，且9和ζ都是确定性的。则（i）方程（1）的最大解和最小解（（?），（?））t∈[0,T]与（（?），（?）t）t∈[0,T]都是确定性的，即（?）t=（?）≡0对于任意的t∈[0，T]，且（（?））t∈[0，T]和（?）t∈[0，T]都是确定性过程；（ii）如果方程（1）的解不是唯一的，那么方程（1）有至少连续统个随机解，连续统个确定性解，并且对于方程（1）的任一解（Yt，Zt）t∈[0,T]，总有推论2．2．4意味着一个具有确定性边界条件、确定性系数的方程有无穷多个完全受确定性过程控制的随机解．具我所知，在任何其他方程（包括SDE、PDE或ODE）理论中，还没有发现过这种现象．如何解释这种现象将是一个非常有趣的问题．本章的第二个主要结果同样也是因为在Lepeltier-San Martin（1997）条件下，方程（1）解的不唯一性而提出的。为了研究BSDE解的逆比较问题，Briand-Coquet-Hu-Memin-Peng（2000）在g关于（g．z）是Lipschitz连续的，g（·．y．z）是连续的且E[supt∈[0,T]|g（t，0，0）|]<∞的假设下得到了方程（1）系数的g的表示定理，Jiang（2005）又把后两个条件去掉，将g的表示定理推广为：设1≤p<2．则对任意（y．z）∈R×Rd．如下等式对[0，T]中几乎所有的t都成立，那么当g不是Lipschitz连续时，我们还有这样的表示定理吗?下面的结果回答了这个问题．定理2．3．7．假设g满足定理2．2．1中的条件．且表示方程(g，t+ε．y+z.(Wt+ε-Wt))的任给一解，设ε>0，t+ε≤T，另外p∈[1，2)。则对任意（y．z）∈R×Rd，对[0，T]中几乎所有的t如下等式都成立，g的表示与解是否唯一是无关的!故我们称之为g的不变表示。这为我们对非Lipschitz条件下BSDE的研究提供一个有用的工具，同时让我们更进一步认识到g在BSDE中的重要性。当g关于（y，z）是Lipschitz连续时，我们最为常用一个的估计式或许是：假设ζ∈L2（Ω．FT．P），（Y.，Z．）是（g，T，ζ）的唯一解，则其中L是依赖于g的Lipschitz常数K的正实数且β=2（K+K2）．这个估计式实际上是刻画了BSDE的解在L2意义上对于终值ζ和g的连续依赖性。不幸的是当g不是Lipschitz连续时，我们很难或得不到类似的估计式．但庆幸的是我们有下面的连续依赖性定理．定理2．4．7．假设λ属于一非空集合D（?）R且gλ满足（H1’）存在正常数A使得对于??λ，t．ω．y．z．总有|gλ（ω．t．y．z）|≤A（1+|y|+|z|）；（H2’）对于（?）（y．z）∈R×Rd和（?）λ∈D，（gλ（t，y，z））t∈[0,T]是平方可积的；（H3’）对给定的l，ω，λ，gλ（ω，l，…）是连续的；（H4’）gλ在点λ=λ0连续，且关于（t，y，z）是一致的．则下列断言是等价的：（i）(gλ0．T.ζζ0)的解是唯一的；（ii）（?）ζλ，ζλ0∈L2（Ω，FT．P）．若当λ→λ0时，在L2的意义下ζλ→ζλ0，且（ytζ，ztλ）t∈[0,T]与(ylλ0，ztλ0(t∈[0，T]分别是（gλ，T，ζλ）和(gλ0，T，ζλ0)的任意解．则这是一个基础性结果，在ODE，PDE或SDE理论中我们都能找到类似的结论，但是它又是重要的，当研究非Lipschitz的BSDE的时候，我们没有估计式（2），是它起着关键的作用，其在本文第3章中的作用尤为突出．二、第3章证明了Peng猜想，即当g关于z是一致连续的且不显含y，相应BSDE的解是唯一的；在此基础上定义了一类新的g-期望，证明此类g-期望是严格比较定理不成立的Ft-动态相容的非线性数学期望，并可表示成一串Peng的g-期望的极限．（本章部分（阶段性）结果发表于法国C．R．Acad．Sci．[74]）在本章中，我们总是假设n=1．2005年10月，Peng在山东大学的一次报告中提出下面猜想，对于一维的BSDE，若g不显含y，且关于z是一致Holder连续的，则相应BSDE的解是存在唯一的．十多年来，人们一直没有找到反例。本章的第一个主要结果就是在更为一般的条件下-g关于z是一致连续的而不仅只是一致Helder连续的，证明了Peng的猜想．当然，当g显含y且关于y是Lipschitz的，或关于y满足常用的单调性条件时，这个结果照常成立，显然这是对Pardoux-Peng（1990）结果在一维情形下的推广．更为有趣的是，这类BSDE虽然像标准的BSDE一样满足比较定理，但其却一般不满足严格比较定理，这一点是这类BSDE与标准的BSDE的最大区别。众所周知，严格比较定理的金融学含义是无套利原理，这一结果特别是在此基础上定义的g-期望为我们研究有套利市场中的风险度量和市场定价问题提供了一个新的工具。与此同时，这一结果也改变了人们在考虑BSDE的存在唯一性问题和用BSDE研究实际问题时，总是考虑减弱g关于y的条件以适应实际的需求，而始终假设关于z是Lipschitz的习惯做法，进一步验证了长期以来人们关于z可以有比y更弱的条件的想法，这一想法主要源自于人们对PDE的认识。我们通过这类BSDE定义来一类新的g-期望是一个自然的想法，这深受Peng在1995年引入并系统研究g-期望的影响。这类新的g-期望是Peng的g-期望的一个推广，为叙述方便期间，我们称Peng的g-期望为标准g-期望。我们证明了新的g-期望是一类由Coquet-Hu-Memin-Peng（2002）定义的Ft-动态相容的非线性数学期望，但是其一般不满足严格比较定理。并且我们还可以证明，任意一个新的g-期望总可以表示成一列标准g-期望的极限。在此基础上，我们还定义了相应的g-鞅（g-上鞅，g-下鞅），并证明了g-上鞅分解定理，这是对Peng的g-上鞅分解定理，即非线性Doob-Meyer分解定理的一个推广．以下是第3章的主要结果．定理3．3．1．假设g关于z一致连续，不显含y（或显含y，但关于y是Lipschitz连续的，或满足常用的单调性条件（见Pardoux（1996）[115]））．则对于任意的ζ∈L2（Ω，Ft，P），方程（1）的解存在唯一。由于在这种情形下，很难找到压缩影像算子，所以在定理3．3．1的证明中我们采取了一种非常规的、但又非常有趣的方法．作为定理3．3．1证明过程的一个副产品，我们还可以得到下面有趣的结果．定理3．3．8．假设g关于（y，z）是一致连续的，且ζ∈L2（Ω．FT，P）。则使得方程（g+c．T．ζ）的解不唯一的实数c至多有可数个．另外，上面结果对于反射BSDE照常成立（见Jia-Xu[77，2006]）．下面是我们g-期望的定义。定义3．5．2．假设g关于x是一致连续的，关于y是Lipschitz连续的，并且对于任意的（t，y），g（t，y，0）≡0．则g-期望Eg[·]：L2（Ω，FT．P）（?）R定义为X关于Ft的条件g-期望定义为其中（Y，Z）是（g，T，X）的解．定理3．5．5．对于任一由定义3．5．2定义的g-期望Eg[·|Ft]，总存在一列标准的g-期望Egi[·|Ft]（i=1，2．…）．对于任意的X∈L2（Ω，FT，P），Egi[Z|Ft]在L2的意义下一致地收敛到Eg[X|Ft]，即（?）t∈[0，T]，以上收敛关于X是一致的．定理3．5．4．定义3．5．2中定义的g-期望Eg[·|Ft]是Ft-动态相容的非线性数学期望，即对于任意的X．Y∈L2（Ω，FT，P）．我们有（i）单调性：Eg[X|Ft]≥Eg[Y|Ft]，P-a．s．，如果X≥Y，P-a．s．；（ii）保常性：Eg[X|Ft]=X，P-a．s．，如果X∈L2（Ω．Ft．P）；（iii）动态相容性：Eg[Eg[X|Ft]|Fs]=Eg[X|Fs]，P-a．s．，如果s≤t≤T；（V）“0-1律”：对于任意的t∈[0，T]，Eg[1AX|Ft]=1AEg[X|Ft]，P-a．s．．（?）A∈Ft．以上两个定理的证明都用到了第2章中的连续依赖性定理．关于这类新的g-期望，我们还可以得到下面有趣的结论。定理3．5．12．假设g满足定义3．5．2中的所有条件，则下面断言是等价的。（i）g不显含y，关于z是Lipschitz连续的．并且是超齐次的，即对于λ∈R.（ii）基于g-期望的Jensen不等式成立，即对任意的凸函数f：R→R和X∈L2（Ω．FT，P），如果f（X）∈L2（Ω，FT，P）．则换句话说，如果g关于z并不是Lipschitz连续的，而只是一致连续，则（ii）总不可能成立。这让我们感到有必要重新审视由Chen-Kulperger-Jiang（2003）和Hu（2005）系统研究的基于g-期望的Jensen不等式问题，我们需要新的思路和想法，同时这也是我们在第5章中提出g-凸概念的动机之一．另外，我们还有命题3．5．9．Eg[·]：L2（Ω，FT，P）→R作为一个非线性算子可以连续地扩张到L1（Ω，FT．P）上，其中这个结果是对Chen[29]工作的一个推广．至于新的g-鞅（g-上鞅，g-下鞅）的定义以及相应的g-上鞅分解定理，则完全依照Peng（1999）的框架，特别是g-上鞅分解定理的证明依赖于Peng关于Ito过程的单调收敛定理，所以我们在此就不一一列举了，文中有详细的描述．另外在本章中我们证明了在系数是一致连续条件下BSDE的稳定性定理，推广了Peng-Hu（1997）的结果，为通过概率方法研究关于▽u是一致连续的半线性抛物方程的Homogenization问题扫清了道路。三、第4章得到一个新的非线性Feymann-Kac公式，给出了一类重要的半线性退化抛物方程粘性解的概率解释。著名Feymann-Kac公式（见Kac[84，1951]）将一大类线性二阶抛物和椭圆方程的解表示成一个扩散过程的泛函的期望，第一次将PDE的解与概率论紧密地结合起来。Peng（1991）首次通过一个BSDE的解来表示一大类半线性二阶抛物和椭圆方程的粘性解，建立了非线性的Feynmann-Kac公式。这是BSDE理论在PDE理论中的重要应用，就像建立一个形式上的“字典”，在“字典”的一边是PDE而另一边是BSDE。“字典”一边的PDE的解具有存在唯一性，在另一边相应BSDE解也具有存在唯一性，反之亦然，其他性质也有相应的对照关系，比如比较定理（原理）等等。这种关系在BSDE和PDE之间架起了一座“桥”，使得我们可以通过研究“桥”的一端问题来研究“桥”另一端的问题。在g关于▽u是线性增长的情形下，相应半线性退化抛物方程粘性解的概率解释问题已经有了许多工作，例如Peng[129，132]，Pardoux-Peng[120]，Pardoux[115，116]，Barles-Buckdahn-Pardoux[9]，Pardoux-Tang[123]，Pardoux-Pradeilles-Rao[122]，Barles-Lesigne[10]等等，不过所有这些工作都要求g关于z是Lipschitz连续的。但是在经典的粘性解理论中，我们通常只要求g关于▽u（在BSDE的语言中为z）一致连续的。也就是说，在这个“字典”中我们还有没有解释的词条，主要原因是那时我们还没有证明当g关于z是一致连续时，相应BSDE解的唯一性。由于我们已经在第3章中证明了定理3．3．1，所以我们可以部分地添上相应的“词条”。下面是本章的主要结果。假设b：[0，T]×Rd→Rd和σ：[0，T]×Rd→Rd×d是满足下列条件的连续函数|b（t，x）-b（t，x’）|+|σ（t，x）-σ（t，x’）|≤L|x-x’|，（3）其中L>0为一常数。并设{Xst,x：t≤s≤T}为下列SDE的强解现考虑BSDE其中H：Rd→R和g：[0．T]×Rd×R×Rd→R满足下列条件：（i）g和H是连续函数，且存在常数K，p>2，使得对任意的t，x，y，z，|H（x）|≤K（1+|x|p）．|g（t，x，y，z）|≤K（1+|x|p+|y|+|z|）；（ii）g关于z是一致连续的，关于y是Lipschitz连续的，且关于t，x是一致的；（iii）对任意R>0，存在一个不依赖于R的正常数α，以及一个依赖于R的、不减的正函数ηR（·），其满足（?）+ηR（h）=0，使得当|x|，|x’|，|y|≤R，t∈[0，T]．z∈Rd时有|g（t，x，y，z）-g（t，x’，y，z）|≤ηR（|x-x’|（α+α|z|））．定理4．3．2．假设b．σ．g和H满足上述条件，则函数u（t，x）=Ytt，x是PDE满足多项式增长条件的、唯一的连续粘性解，其中显然，定理4．3．2是Peng（1991）和Pardoux-Peng（1992）的工作在一维情形下的推广，因为他们假设g关于z是Lipschitz的。我们在定理4．3．2的证明过程中用到了Peng（1991）和Pardoux-Peng（1992）的结果以及Barles（2006）的稳定性定理。另外值得一提的是，定理4．3．2给出了一类在物理学中非常重要的PDE-广义的确定性Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程（或Krug-Spohn方程）的概率解释。这类方程的一般形式如下这里q是正常数．当q=2时，Kardar-Parisi-Zhang（1986）首先在表面增长研究中提出方程（4．1），我们称其为确定性KPZ方程．对于q≠2的情形，我们称为广义的确定性KPZ方程或Krug-Spohn方程，其由Krug-Spohn（1988）首先引入并给出了明确的物理解释（见Krug-Spohn[96]）。显然，Peng（1991）在q=1情形下对方程（4．1）给出了概率解释，Kobylanski（2000）对1<q≤2的情形给出了概率解释，定理4．3．2则解决了0<q<1时的问题。四、第5章提出了g-凸函数的概念，得到了g-凸函数的充分必要条件；发现了g-凸性与Backward stochastic viability property之间存在的深刻联系。本章的大部分内容来自于Jia-Peng[76]。关于经典的数学期望的Jensen不等式是现代概率论与鞅论中的一个基本的不等式。我们知道g-期望是一种非线性数学期望，一个自然的问题是基于g-期望的Jensen不等式，即：对于任意凸函数h：R→R和X∈L2（Ω,FT，P），如果h（X）∈L2（Ω.FT．P），对于（?）t∈[0,T]．h(Eg[X|Ft]≤Eg[h（X）|Ft]．（8）一般成立吗?这个问题由Briand-Coquet-Hu-Memin-Peng（2000）首先提出，在文[13]中，他们还给出了一个反例：对一个非常简单的凸函数，上面的Jensen不等式也不能成立，他们还在一个特殊条件下得到了一个使得上述Jensen不等式成立的充分条件。后来Chen-Kulperger-Jiang（2003）证明了一个有趣的结果；如果g不显含y．对于任意的凸函数g上面Jensen不等式的充分必要条件是g是超齐次的，即：对于（?）λ∈R和（?）（y，z）∈R×Rd，g（t，λz）≥λg（t，z），dP×dt-a．s．，最近Hu（2005）又在没有假设g不显含y的条件下证明这个结果也是成立的，即上述Jensen不等式的成立同时会导致g不显含y。上述工作都是在假设g关于（y，z）是Lipschitz连续的条件下进行的。在本章中我们从一个全新的角度来研究这个问题：对于一个给定的g（当然相应的g-期望也就给定），我们去寻找能满足上述Jensen不等式的函数h的显式刻画，其实这样的想法也是非常自然的，对于经典的数学期望来说，不等式（8）的成立也可以作为h是凸函数的定义，即对所有可积的X，如果h（X）也是可积的，且不等式（8）总是成立，则h是凸函数，其逆就是Jensen不等式。而我们知道经典的数学期望在某种意义下只不过是一个特殊的g-期望（g≡0），上面的分析告诉我们对这个特殊的g-期望来说，使得不等式（8）成立的就是凸函数。那么对于一个任意给定的g-期望，使得不等式（8）成立的h又是什么呢?是凸函数吗?该如何刻画呢?我们称这样的函数h是g-凸函数。非常幸运的是我们得到了一个函数h是g-凸函数，也就是使得不等式（8）成立的充分必要条件，其证明过程主要使用了Peng的g-上鞅分解定理，PDE粘性解的概率解释以及Peng在[132]中的一些办法并克服了一系列实质性的技术困难。Chen-Kulperger-Jiang（2003）或Hu（2005）的结果很容易由这个充要条件得到。g-凸函数的显式刻画非常直观、简单，而且g-凸函数一定是凸函数，这让我们非常吃惊，这个显式刻画容易验证，可以包含了以前所有关于g-期望Jensen不等式的结果（当然也包含了经典数学期望的结果），对关于g-期望的Jensen不等式问题给出了系统且完整的答案，同时也为g-期望的进一步的研究提供了一个有力的工具。更让人感兴趣的是，我们还发现g-凸性与Buckdahn-Quincainpoix-Rascanu（2000）引入和并系统研究的Backward stochastic viability property（简记为BSVP）之间有着深刻的联系，这一点也为深入研究g-期望问题以及BSVP问题提供了一个新的思路．我们首先介绍一下BSVP的概念，简单地说一个集合K对于方程（1）是BSVP的，是指若方程（1）的终值X∈K P-a．s．，则对任意的t，其解（Yt）t∈[0,T]∈K P-a．s．,在此我们称K是g-BSVP的。这时方程（1）可以是多维的（n>1）．现在我们给出g-凸函数的定义。定义5．2．1．对于给定的g-期望Eg[·]，一个函数h：R→R是g-凸（g-凹）的，是指对任意的X∈L2（Ω，FT．P），如果h（X）∈L2（Ω，FT，P），总有h(Et,Tg[X])≤Et,Tg[h（X）[，(resp．h(Et,Tg[X])≥Et,Tg[h（X）])P-a．s．，t∈[0．T]．（9）如果h既是g-凸又是g-凹，那么我们称之为g-仿射。下面是本章的主要结果。在这里我们假设g关于（y．z）是Lipschitz连续的，并且g（·．0，0）∈LF∞（0，T），我们记其为条件（H）。可以看出这个条件比通常g-期望要求的条件更为一般，我们没有要求对任意（t，y），g（t，y，0）≡0。为了叙述方便，我们在这里都称为g-期望，所以我们用Et,Tg[·]而不是用Eg[·|Ft]来表示Yt。另外我们只考虑h是连续函数的情形。定理5．2．2．假设g满足条件（H），h∈C2（R）。则下面断言是等价的：（i）h是g-凸函数（g-凹函数）；（ii）对任意的（y．z）∈R×Rd．1/2h”（y）|z|2+g（t，h（y），h’（y）z）-h’（v）g（t，y，z）≥0（resp．≤0）．dP×dt-a.s．（10）定理5．3．2．假设g满足条件（H），h∈C（R）是多项式增长的。并且假设g是确定性函数，对任意（y，z），g（·，y，z）是连续的。则下面断言是等价的：（i）h是g-凸函数（g-凹函数）；（ii）对任意的（t，z）∈[0，T]×Rd，h是下列方程的的粘性下解（上解） 1/2h”（y）|z|2+g（t，h（y），h’（y）z）-h’（y）g（t，y，z）=0．推论5．3．5．假设定理5．3．2中的条件都成立．则下面断言是等价的：（i）h是g-凸函数；（ii）h是凸函数且对任意的（t，z），在所有h二阶导数存在的点y，下面不等式总成立1/2h”（y）|z|2+g（l．h（y），h’（y）z）-h’（y）g（t，y，z）≥0．定理5．4．7．假设g满足条件（H）．则下面断言是等价的：（i）h是g-仿射的；（ii）h的形式是：h（y）=ay+b，其中（a，b）∈Πga这里Πga：={（a，b）；g（t．ay+b，az）=ag（t，y，z），dP×dt-a.s.}实际上，对定理5．4．7条件（H）中的g（·，0，0）∈LF∞（0，T）可以放宽为g（·．0，0）∈LF2（0，T）。定理5．2．12．假设（Yt）t∈[0,T]是一个g-鞅，h是一个g-凸函数（g-凹函数，g-仿射函数），并且h（Yt）∈L2（Ω，Ft，P），（?）t∈[0，T]。则（h（Yt））t∈[0,T]是一个g-下鞅（g-上鞅，g-鞅）。另外．定理5．2．12的逆也是成立的。定理5．2．13．假设g满足条件（H）．如果对任意g-鞅（Yt）t∈[0,T]，（h（Yt））t∈[0，T]都是g-下鞅（g-上鞅，g-鞅），则h是g-凸函数（g-凹函数，g-仿射函数）．定理5．4．4．假设g满足条件（H），h：R→R是一个连续函数。另外假设则下面断言是等价的：（i）h是g-凸函数；（ii）epi（h）是g-BSVP的，其中epi（h）={（x1，x2）∈R2；h（x1）≤x2}．推论5．4．6．连续的g-凸函数（g-凹函数）是一定是通常意义下的凸函数（凹函数），反之未必．在本章中我们系统地研究了g-凸函数（g-凹函数、g-仿射函数）的性质，并且得到了一系列描述基于g-期望的广义Jensen不等式与BSVP之间关系的结果．我们还证明若干关于一个集合是g-BSVP的充要条件，在此我们就不一一列举了，文中有详细叙述。最后一点我们需要指出的是，对于我们在第3章研究的BSDE，当g关于z是一致连续的，关于y是Lipschitz连续的，并且g（·，0，0）∈LF∞（0，T）时，相应的上述结果除定理5．4．4外全都成立．五、第6章从一个新的角度讨论BSDE解的存在性问题，得到了若干具有不连续系数、无显式增长限制的BSDE的解存在的充分条件。（本章部分（阶段性）结果发表于美国Statistics and Probability Letters[73]，法国C．R．Acad．Sci．[72]）通常我们研究BSDE解的存在唯一性问题时，一般总是注重考虑g的特性，而终值ζ则位于某个空间。但是我们发现对许多BSDE的存在唯一性问题来说，三元组（g，T，ζ）是一个整体，也就是说，对同一个g，不同的T或ζ，会出现有时方程的解是存在的，而有时则解不存在或是爆炸的现象。这种现象在ODE和PDE中会经常发生，所以对于某些问题来说我们应该将三元组（g，T，ζ）看成一个整体来考虑，而不是将其分开讨论。本章就是遵循这种思路来讨论BSDE解的存在性问题的。本章的主要结果如下。假设一维BSDE（g，T，ζ）满足下列条件，（i）对函数g：Ω×[0，T]×R×Rd→R，g（t，y，·）是一致连续的，且关于（ω．t，y）是一致的。g（t，·，z）右连续，并满足左Lipschitz条件，即存在常数A≥0，对任意的y1≥y2∈R，（t，z）∈[0，T]×Rd，有g（t，y1，z）-g（t，y2，z）≥-A（y1-y2）；（ii）存在函数gi：Ω×[0，T]×R×Rd→R（i=1，2），使得对任意的（t，y，z）∈[0，T]×R×Rd，g1（t，y，z）≤g（t，y，z）≤g2（t，y，z） P-a．s．；（iii）对于给定的ζ∈L2（Ω，FT，P），（g1，T,ζ）和（q2，T，ζ）都至少存在一个解，其分别记为（y，z）和（y，z）。另外假设对t∈[0，T]，yt≤yt,P-a．s．，定理6．2．2．假设方程（g，T，ζ）满足上述条件。则其至少存在一解．当g关于z是Lipschitz连续时，这个结果已经发表在C．R．Acad．Sci．[172]。最近Zheng-Zhou[177，2008]在相同条件下证明定理6．2．2对双边界反射BSDE问题也是成立的，并发表在Statistics and Probability Letters上。当然在一致连续条件下，定理6．2．2对双边界反射BSDE问题同样是正确的。
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