框架及其在信号处理中的应用

论文摘要

小波分析是Fourier分析发展史上里程碑式的进展，它是近年来迅速发展起来的一门新兴学科，它的应用领域包括数学领域本身的许多学科、信号分析、图像处理、量子力学等许多方面。框架理论是研究小波分析的一个主要工具，它是由Duffin和Schaffer在1952年研究非调和Fourier级数时提出来的，它在小波分析的发展中起到了非常重要的作用。当小波理论蓬勃发展时，Daubechies，Grossmann和Meyer把连续小波变换的理论与框架理论相结合定义了仿射框架（或称小波框架）。如今的框架已经广泛应用于小波分析、信号分析、图象处理、数值计算、Banach空间理论等理论和应用领域的研究。本文着重讨论了框架的基本性质、框架的稳定性以及框架多分辨分析在信号处理中的应用。文中引用的结论大都是此方面的经典结论或者最新的结论。他们代表了此领域的研究水平和发展方向。在此基础之上，本文作者推广了部分结果，同时也给出了一些新的结果。本文共分四部分。第一章是绪论，综述了小波分析的产生、发展和框架理论的产生、发展。第二章介绍了框架的基本性质。框架是一类特殊的Bessel序列，框架是把Hilbert空间中的规范正交基满足的Parseval等式推广到比较一般的序列所满足的双边不等式的结果。由于（?）f∈H，都有f=sum from i∈1(<f，s-1fi>+ci)fi，因此说明了框架分解对噪声有一定的抵抗力，框架的冗余性越大，则这种削减噪声的能力越强，这里{ci}i∈1∈R（T）⊥就是反映了噪声的数据。这正是研究框架性质的目的所在。第三章着重研究了框架的稳定性以及L2（R）上小波框架的稳定性。所谓小波框架是指，把一个函数φ∈L2（R）通过伸缩变换(Dan，n∈Z)和平移变换(Tmb，m∈Z)后，得到的序列如果构成L2（R）的框架，则称(DanTmbφ)m，n∈Z是L2（R）上的小波框架。第四章分为两部分，第一部分主要介绍了小波多分辨分析及其Mallat算法，第二部分给出了框架多分辨分析，并通过具体例子说明了框架多分辨分析在信号处理中的应用。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 小波分析的产生与发展
• 1.2 框架理论的产生和发展
• 1.3 本文结构
• 第二章 框架的基本性质
• 2.1 Bessel序列和框架
• 2.2 框架对原函数的重构
• 2.3 框架和正交基之间的关系
• 2.4 框架的冗余性
• 2.5 对偶框架
• 2.6 框架边界的实际意义
• 第三章 框架和Riesz基的稳定性
• 3.1 预备知识
• 3.2 Hilbert空间H中框架和Riesz基的稳定性
• 2（R）空间中小波框架和小波Riesz基的稳定性'>3.3 L²（R）空间中小波框架和小波Riesz基的稳定性
• 第四章 框架多分辨分析及其应用
• 4.1 多分辨分析及其Mallat算法
• 4.2 框架多分辨分析
• 4.3 框架多分辨分析在信号处理中的应用
• 总结
• 参考文献
• 致谢
• 研究成果