论文摘要
间断Galerkin方法（简称DG方法）是有限元方法的一种,它的数值解和检验函数采用完全间断的分片多项式. DG方法最初是用来求解一阶双曲守恒型方程,具体可参见文献.它具有传统有限元所不具备的灵活性,例如可以允许任意的网格剖分,而且网格节点允许出现“悬挂”,并且算法简单,易于并行化. 1997年Bassi和Rebay将DG方法应用到可压缩Navier-Stokes方程.在此基础上, Cockburn和Chi-Wang Shu对DG方法进行推广,于1998年提出了局部间断Galerkin有限元方法（简称LDG有限元方法）,用于求解对流扩散方程（包含有二阶导数）.由于LDG方法计算简单、易于编程并能很好地保持某些物理特性,所以得到了广泛的应用.本文利用LDG方法求解一类非线性对流扩散方程,详细介绍了一维和二维情形.首先基于Hopf-Cole变换,将非线性对流扩散方程转换为具有同类边界条件的线性热传导方程,然后利用LDG方法求解热传导方程,最后通过逆变换得到非线性对流扩散方程的数值解.同时,本文也给出了该方法的稳定性分析及误差估计.理论分析表明当空间逼近采用Pk多项式时可以得到具有k + 1阶收敛精度的数值解.此外本文也给出数值例子来具体说明上述方法的有效性、高精度性.其中就周期边界条件和Dirichlet边界条件我们分别应用了文中列出的几种数值通量.数值结果表明无论哪种情形都可以达到最优的收敛阶.