Sn+1中具有常Moebius截面曲率的超曲面

论文摘要

本文共分四部分：第一部分为引言,给出了本文所要研究的问题的背景以及研究现状；第二部分为预备知识,主要给出了研究Mobius子流形几何的基本理论以及Mobius不变量和结构方程；第三部分为结论第一部分的证明,即证明了在任意p∈M, Mobius第二基本形式B和Blaschke张量A的不同特征值的重数都是常数；第四部分是全文的核心：分类定理的证明.具体内容如下：在第二部分中,我们给出了Mobius子流形几何的基本理论,并介绍了Mobius形式（?）, Mobius第二基本形式B和Blaschke张量A以及结构方程.第三部分主要证明了如下结论：引理令x：M→Sn+1（n≥3）是一个n维无脐点超曲面.如果x对应的Mobius度量g具有常截面曲率,则在任意p∈M,Mobius第二基本形式B和Blaschke张量A的不同特征值的重数都是常数.进一步,对于p∈M的任一邻域U,p点切空间TM中使B和A同时对角化的正交基{Ei}可以光滑的延拓到U上,并且在U上可以使B和A同时对角化.另外,B的特征值函数μi和A的特征值函数λi都是U上的可微函数.第四部分证明了如下分类定理：主要定理令x：M→Sn+1（n≥3）是一个n维无脐点超曲面.如果x是非generic的对应的,且对应的Mobius度量g具有常截面曲率,则Mobius形式φ=0,且x（M）是至多有3个不同主曲率的Mobius等参超曲面.进一步,x（M）局部上Mobius等价于下述两种情形之一：（1）标准柱面S（1）×Rn-1的球极投影的原像；（2）由S3中的Clifford环（o∈R4）生成的锥面的球极投影的原像.注：generic即：它是S4中的3维超曲面,且它的Mobius第二基本形式有3个不同的非常数特征值.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 引言
• 2 预备知识
• 3 引理的证明
• 4 分类定理的证明
• 参考文献
• 个人简历及在学期间发表论文与研究成果
• 致谢