论文摘要
在2000年物理学家成功构建了一种人工超材料，其介电常数和磁导率同时为负.此后由于其独特的电磁特性，引起了众多学者对超材料介质中数值方法的关注.本文主要研究了超材料介质中反向波传播与电磁隐身的有限元方法.本文第一部内容研究超材料中反向波传播的时域有限元方法.由于超材料通常是色散介质，因此我们首先对色散介质中Maxwell方程构造了一种隐式内罚间断有限元全离散格式，并证明了该格式是无条件稳定、具有最优L2和能量误差估计，数值试验验证了理论结果的正确性.接着研究了双负介质中三维Maxwell方程有限元解的超收敛性，证明了有限元解在方块网格的单元中心具有高一阶的超收敛性结果，并用数值算例验证该理论的正确性.然后我们将时域超材料方程化成两种简单的模型.针对这两种模型我们分别给出了适定性分析，对其设计了全离散有限元格式，获得了格式的稳定性结果与最优误差收敛阶，并用该格式模拟电磁波在由超材料与真空组成的混合介质中的传播，得到电磁波在超材料中反向传播的奇异现象，大量的数值算例验证了格式的有效性.最后我们讨论了超材料中离子-洛伦兹模型的适定性，对其设计了两种全离散有限元格式，并给出了相关的稳定性与误差分析，此外三维数值算例验证了数学理论的正确性.本文第二部分研究电磁波隐身的频域与时域有限元算法.首先结合恰当的频域PML方法，对频域电磁隐身问题构建了有限元算法.数值试验验证了我们算法的有效性，而且我们的数值结果与使用商业软件Comsol模拟的结果一致.接着我们给出了任意形状电磁隐身的时域模型方程与相应的混合有限元格式，并分析了模型的适定性与有限元算法的稳定性.最后结合恰当的时域PML方法，我们模拟得到了各种形状（圆、椭圆、三角形）的时域电磁隐身现象，这就验证了我们的模型与算法是正确的.本文第三部分利用有限元后处理技术构建了有效的后验误差指示子，并将其应用到了频域电磁隐身问题中.首先我们针对二阶椭圆问题提出一种基于显式多项式恢复（EPR）技术的后验误差指示子，并分析EPR在特殊网格上的超收敛性，数值算例验证了该指示子的有效性.接着利用时谐Maxwell方程棱有限元方法的后处理技术构造了有效的指示子.最后利用CVDT自适应网格生成技术设计了相应的自适应有限元算法，大量电磁隐身问题的数值结果验证了算法的有效性与鲁棒性.