非线性波、符号积分及其应用

论文摘要

本文以数学机械化思想和导师张鸿庆教授提出的AC＝BD理论为指导,借助于符号计算软件Maple,研究了符号积分和微分方程求解中的一些问题:精确波解、有理积分、微分扩张、初等积分、Liouville定理以及Order函数及其在微分方程中的应用.第一章介绍数学物理机械化和符号积分相关方面的发展,重点介绍微分方程与计算机代数之间的关系.第二章和第三章主要考虑了非线性偏微分方程的精确解.首先介绍了AC＝BD模式和C-D对理论.第三章具体研究了这一模式的应用:引入两个相互独立的且含有不同变量的辅助方程,推广了有理展开法.最后举例来展示该方法的有效性,获得了大量的complexiton解.第四章介绍符号积分相关的理论,无平方因子分解、Hermite约化、Rothstein-Trager算法以及微分扩张.第五章研究Order函数的理论及其应用.利用Order函数求偏微分方程的精确波解.同时,利用Order函数研究了常微分方程的特殊函数解.最后介绍了Liouville定理及其证明.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 数学机械化思想
• 1.2 孤立子研究的历史和发展概况
• 1.2.1 孤立子的发现、性质与应用
• 1.2.2 非线性演化方程（组）精确求解的发展情况
• 1.3 符号积分研究的历史与发展
• 1.4 计算机代数与符号计算软件
• 2 AC=BD理论及C-D对的构造方法
• 2.1 AC=BD理论及在微分方程（组）中的应用
• 2.2 C-D对的构造方法
• 3 推广的有理展开法及KdV方程新的complexiton解
• 3.1 推广的有理展开法概述
• 3.2 KdV方程新的complexiton解
• 4 符号积分
• 4.1 基本概念
• 4.2 有理积分
• 4.2.1 Hermite约化
• 4.2.2 Rothstein-Trager算法
• 4.3 微分域
• 5 Order函数在微分方程中的应用及Liouville定理
• 5.1 基本性质
• 5.1.1 Order函数
• 5.1.2 局部化
• 5.1.3 留数和Rothstein-Trager结式
• 5.2 性质的推广
• 5.3 无穷远点Order函数及其在微分方程求解中的应用
• 5.3.1 无穷远点Order函数
• ∞函数在微分方程求解中的应用'>5.3.2 υ_∞函数在微分方程求解中的应用
• 5.4 Order函数在常微分方程中的应用
• 5.4.1 线性常微分方程特殊函数解算法
• 5.4.2 特殊函数
• 5.5 Liouville定理
• 5.5.1 初等及Liouville扩张
• 5.5.2 Liouville定理的证明
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢