论文摘要
现代数理金融研究的一个重要目标就是寻找超越Black-Scholes模型的理论和方法.这些新的模型可以是为了弥补经典的Black-Scholes模型的不足,也可以是为了建立不完备市场中可以运用的理论和方法.有经济学家注意到实际市场中的价格是一个离散过程,从而主张放弃Black-Scholes模型中采用连续的几何Brown运动描述标的资产价格变动的方法,转而采用纯跳过程来描述价格过程.为此,我们采用了一个纯跳的随机过程作为描述标的资产价格的模型,称为有限状态多期模型.有限状态多期模型描述下的金融市场是一个不完备的市场,要给其中的金融衍生产品确定一个公平的价格就需要在不完备市场下有效的理论和方法.如果市场是一个公平的市场,其中不存在套利机会,那么在无套利约束下一定存在这样的测度,使得标的资产价格与累积红利之和的折现过程在该测度下是一个鞅,具有这个特征的测度称为等价鞅测度.如果市场是完备的,也就是说所有的未定权益都能被一个由标的资产和债券组成的投资组合所复制,那么等价鞅测度存在且唯一,并且未定权益的价格可以表示成为等价鞅测度下的一个数学期望的形式.在不完备的市场中,等价鞅测度存在但不一定唯一,所以我们需要在等价鞅测度集合中按照某种原则选取出一个恰当的等价鞅测度来作为定价测度,从而把未定权益的价格表示成为该测度下的一个数学期望的形式.定价测度的选取有很多原则,其中最小相对熵原则被认为是最恰当的原则之一.本文的定价测度将按照这个原则选取,称为最小熵等价鞅测度.本文考虑了只有一个标的资产的有限状态多期模型,并且求出了当标的资产有红利支付和没有红利支付情形下的最小熵等价鞅测度.最小熵等价鞅测度是在市场自然测度的基础上加入最少信息的等价鞅测度,它能最大限度地把市场的历史信息融入到对未来的预测当中,并且保证了市场的公平性.基于最小熵等价鞅测度,我们提出了采用Monte Carlo模拟和Markov chain Monte Carlo模拟的欧式期权定价和美式期权定价方法.在一个经典的Black-Scholes世界中我们比较了基于历史波动率的Black-Scholes公式、规范测度定价以及我们的方法的表现.从随机模拟的结果来看,我们的方法在虚值期权和平值期权的情形优于规范测度定价方法;我们的方法在实值期权的情形下也表现得很好,不过规范测度定价方法表现得更好.在和基于历史波动率的Black-Scholes公式的比较中我们发现,虽然新方法是一种非参数方法,它没有利用标的资产价格服从几何Brown运动的信息,但是却给出了满意的结果.这说明新方法可以很好地提取标的资产历史价格中的信息,并且有效地运用到对期权的定价当中.我们还设计了一个8周投资计划来考察期权定价方法在实际市场中的表现.在投资计划中的每一天我们都按照期权定价方法的指导购买当前标的资产价格下的欧式期权,并把整个投资时间段内的总收益作为衡量定价方法优劣的指标.采用S&P 500指数的实证研究中,我们发现新方法比规范测度定价方法和基于历史波动率的Black-Scholes公式更加审慎,特别是在对深度虚值的欧式期权的投资中,新方法的损失最少.在8周投资计划中,我们利用美式期权定价过程中决定的最优执行边界的表现来评价美式期权定价方法的效能.在采用S&P 100指数进行的实证研究中,发现新方法的最优执行边界能够有效地指导投资者选择恰当的时机执行持有的美式期权.除了研究有限状态多期模型下的期权定价问题,我们还研究了标的资产的红利率和无风险利率之间的大小关系与市场发展趋势之间的联系.同时,我们在有限状态多期模型下还证明了股票市场中的投资风险大于固定回报率市场中的投资风险的结论.
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