Vlasov-Poisson 系统与Boltzmann方程的无限能量解和永久型解

论文摘要

数学上很多重要的概念和进展都起源于N-体问题,它通过牛顿运动方程描述了N个质点的运动.这样的问题经过统计平均得到了我们所熟悉的动力学方程.本文研究的动力学方程主要是Boltzmann方程和Vlasov-Poisson方程.当前比较受关注的是无限质量和无限能量问题,Perthame和Castella分别研究了Vlasov-Poisson方程和Vlasov-Poisson-Fokker-Planck方程在初值f0∈L1∩L∞的无限能量解.用他们的思想,本文在更一般的情况,即假设初值f0∈L1∩Lp时证明了Vlasov-Poisson方程和Vlasov-Poisson-Fokker-Planck方程无限能量解的存在性.其关键的步骤就是对空间质量密度ρ（t,x）,场E（t,x）的p范数以及关于速度变量的低阶矩做估计,这些估计在具体形式上都是新的,其结果拓展了Perthame和Castella等人的工作.而且在空间质量密度有界的条件下,我们利用概率距离（Wasserstein距离）的方法证明了Vlasov-Poisson方程解的唯一性.另外,本文在软位势（包括Maxwell分子模型）情形下,证明了空间非均匀Boltzmann方程无限能量解的存在性.根据Kaniel-Shinbrot迭代方法,我们利用一些估计以及解微分方程的方法找到了满足开始条件的两个函数l0和u0,从而证明了方程解的存在唯一性.因为初值取在局部Maxwell分布(M0（x,ξ） exp（?）附近,它的解也位于Maxwell分布exp（?）的附近,显然这样的解具有无限的质量和能量.此结果完善了Mischler和Perthame的工作,他们只是对于Maxwell分子模型证明了Boltzmann无限能量解的存在性.最后,本文利用一种新的迭代方法（有别于Kaniel-Shinbrot迭代）在硬位势和硬球模型情形下证明了Boltzmann方程永久型解的存在唯一性.这种新的迭代方法,其巧妙之处在于,当开始条件满足时既能保证迭代能够继续下去,同时使得迭代序列是单调的。我们曾在空间非均匀的情况下,利用这种迭代方法对软位势情形得到了Boltzmann方程永久型解的存在唯一性。法国青年数学家Villani在他的博士学位论文以及相关著作中猜测:除Maxwell分布的永久型解外,Boltzmann方程没有其他的永久型解.Bobylev和Cercignani证明这个猜想在空间均匀的情况下是正确的.我们的结果说明Villani的猜测对于空间非均匀的无界区域情况是不成立的.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 方程来源及意义
• 1.2 Vlasov-Poisson方程的研究概况
• 1.3 Boltzmann方程的研究进展
• 1.4 本文的工作安排
• 2 Vlasov-Poisson方程的研究状况及方法
• 2.1 插值不等式和场估计
• 2.2 局部存在性
• 2.3 守恒律和渐近性
• 2.4 整体存在性
• p空间中无限能量的Vlasov-Poisson方程'>3 L^p空间中无限能量的Vlasov-Poisson方程
• 3.1 引言及主要结果
• 3.2 插值估计
• 3.3 定理的证明
• 3.4 概率距离与唯一性
• p 空间中无限能量的Vlasov-Poisson-Fokker-Planck方程'>4 L^p空间中无限能量的Vlasov-Poisson-Fokker-Planck方程
• 4.1 引言及主要结果
• 4.2 一些估计
• 4.3 定理的证明
• 5 Boltzmann方程无限能量的解
• 5.1 Boltzmann方程及其基本性质
• 5.2 主要结果
• 5.3 Kaniel-Shinbrot迭代方法
• 5.4 定理的证明
• 6 Boltzmann方程的永久型解
• 6.1 引言及主要结果
• 6.2 硬位势情况
• 6.3 硬球模型情况
• 6.4 讨论
• 7 总结
• 致谢
• 参考文献
• 附录1 攻读博士学位期间发表学术论文