论文摘要
近一、二十年来,已有越来越多的人投身于研究离散动力系统,特别是差分方程解的稳定性、振动性以及分支、混沌等问题[17-26,28],并取得了许多有意义的成果。但由于离散动力系统的复杂性,其基本理论框架还未完善,特别是一些深入的定性性质的研究还刚刚起步,甚至还是空白。 鉴于在关于向量场的平面定性理论和Hilbert十六问题的研究中,平面二次向量场理论,诸如极限环的存在性和分布问题,占有十分重要的地位,本文对最简单的非线性离散动力系统 平面二次映射的一些基本性质进行研究。在第二节中首先考察平面二次映射不变直线的存在性和最大数目,得到了若干不变直线存在和不存在的条件,证明了当存在两个以上不同斜率时,最多存在3条或4条不变直线:当最大条数是3时,3条直线或者两两相交,或者其中2条平行;当最大个数是4时,这4条直线是两对平行直线。此外我们还考察了平面二次映射在不变直线上的混沌性态。接着,在第三节中,通过引入切点的概念,考察了直线上切点及无切直线性质,证明了非不变直线上不动点和切点个数之和不超过2;不变直线上不可能存在中心或焦点;平面二次映射中心和焦点数目不超过2个的结论。在第四节又将平面向量场中的焦点量推广到平面映射中,用规范型理论计算二阶细焦点的焦点量,得到了零阶和一阶焦点量公式并分析了二阶细焦点时的Naimark-Sacker分支。
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