几类非线性发展方程解的长时间性态

论文摘要

本文研究几类与（时滞）偏微分方程有关的非线性发展方程的周期解或概周期解的存在性和稳定性，同时也研究其中一些方程整体吸引子、惯性流形以及近似惯性流形的存在性。全文主要结果由三部分组成。第一部分主要考虑带时滞和阻尼的Sine-Gordon方程以及多时滞抛物发展方程的时间（概）周期解的存在性、稳定性问题。我们采用的方法是构造合适的Lyapunov型函数，对所有可能的周期解给出先验估计，再利用Schaefer不动点定理得到周期解的存在性，然后，获得周期解的稳定性。与以往的耗散理论相比，这种技巧的好处在于仅要求所有可能的周期解一致有界，并不像一般耗散理论那样要求所有解一致有界及一致最终有界。第二部分研究了几类偏微分方程惯性流形和近似惯性流形的存在性。首先，研究了一类非自伴算子情形下的半线性时滞抛物方程解的长时间性态，在适当小的时滞和谱间隙条件下，利用Lyapunov-Perron方法证明了惯性流形的存在性．其次，研究具有拟周期外力作用的时滞抛物方程和波方程解的长时间性态，利用斜积半流方法，在扩展相空间中将非自治系统提升成自治系统，利用算子半群理论和Lyapunov-Perron方法，在适当的谱间隙条件和适当小的时滞假设下，证明了这两类非自治时滞发展方程惯性流形的存在性．最后，就一类具有拟周期外力的非自治发展方程，证明了相应的自治系统的时滞惯性流形的存在性，并在时滞惯性流形的基础上构造了非自治发展方程的近似惯性流形。第三部分研究了一类时滞反应扩散方程的时间离散化模型，证明了连续模型离散后整体吸引子的存在性，并在一定条件下证明了离散整体吸引子的上半连续性。在将连续模型离散化过程中，克服了由于时滞因素带来的困难。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 主要符号表
• 第一章 绪论
• 1.1 概述
• 1.2 整体吸引子与惯性流形
• 1.2.1 动力系统与整体吸引子
• 1.2.2 惯性流形与近似惯性流形
• 1.3 本文的主要结果
• 第二章 带阻尼的sine-Gordon方程的周期解与概周期解
• 2.1 引言
• 2.2 抽象方程的时间周期解
• 2.3 sine-Gordon方程的时间周期解
• 2.4 sine-Gordon方程的稳定周期解
• 2.5 sine-Gordon方程的稳定概周期解
• 第三章 多时滞发展方程的时间周期解
• 3.1 引言
• 3.2 时间周期解的存在性和吸引性
• 3.3 时滞依赖于时间的情形
• 3.4 应用实例
• 第四 章非自伴情形下时滞抛物方程的惯性流形
• 4.1 引言
• 4.2 本章主要结论
• 4.3 主要结论证明
• 第五章 具有拟周期外力非自治时滞发展方程的惯性流形
• 5.1 引言
• 5.2 拟周期时滞抛物方程的惯性流形
• 5.2.1 非自治系统提升为自治系统
• t≥0惯性流形的存在性'>5.2.2 半群{S（t）}_t≥0惯性流形的存在性
• σ（t,τ）,t≥τ,τ∈R}_σ∈T^k惯性流形'>5.2.3 过程簇{U_σ（t,τ）,t≥τ,τ∈R}_σ∈T^k惯性流形
• 5.3 拟周期时滞波方程惯性流形的存在性
• 5.3.1 基本假设
• 5.3.2 系统（5.1.6）的惯性流形
• 第六章 非自治发展方程的时滞惯性流形与近似惯性流形
• 6.1 引言
• 6.2 自治系统（6.1.2）的时滞惯性流形的存在性
• σ（t,τ）,t≥τ,τ∈R,σ∈T^k}的近似惯性流形'>6.3 过程簇{U_σ（t,τ）,t≥τ,τ∈R,σ∈T^k}的近似惯性流形
• 第七章 一类时滞反应扩散方程离散整体吸引子及其上半连续性
• 7.1 引言
• 7.2 整体吸引子的存在性
• 7.3 整体吸引子的上半连续性
• 主要创新与展望
• 致谢
• 参考文献
• 作者在学期间取得的学术成果