自然单元法在固体力学中应用的研究

论文摘要

自然单元法是最近提出的一种新的求解偏微分方程组,处理不同工程领域和应用科学的边界值问题的数值方法。本文研究了自然单元法(NEM)在处理二维弹性力学问题方面的应用。 假定区域Ω采用节点组N作为离散模型,区域边界记为(?)Ω。自然单元法利用求解点的自然邻接点,自然邻接插值和Voronoi结构来构造整体近似位移函数,并在求解区域的Delaunay三角形子域上采用Galerkin过程建立整体求解的系统平衡方程,其积分可在背景三角形网格采用数值积分得到。节点位移向量d则由线性方程组Kd=f求得。 自然单元法中插值函数—自然邻接插值是一种多元数据插值方式,最初被用于数据插值和模拟地球物理学现象。自然邻接插值以节点组N的Voronoi结构为基础,插值函数除了在节点c~0连续外,在其它地方均为c~∞连续。根据基本边界条件,自然邻接插值在凸体边界相邻节点之间是严格线性的,于是可以用自然单元法来模拟非凸体表面裂纹。对于给定的一系列平面节点,其自然邻接插值唯一,Delaunay三角则用于自然邻接插值的数值计算。不同于有限元,为使结果收敛,在三角形单元中加入角约束;在自然单元法中,节点的分布是任意的,不受“单元”形状、大小以及角度约束,因此空间节点分布不受限制。近年来在自然邻接插值以及模拟复合流体结构相互作用的应用方面所作的研究表明这种方法不仅在求解偏微分方程组问题具有优越性,而且在固体力学领域,它将是一种非常有用的数学工具。 本文对自然单元法进行分析研究,并将其应用于固体力学的不同问题,其中包括静力裂纹问题、位移试验、平衡试验、悬臂梁、带孔平板等。将结果与有限元计算结果进行比较,证明其理论正确,方法有效,并对其今后在其它方面如裂纹扩展,板,有限变形以及流体力学等方面的应用有着一定的推动作用。

论文目录

• 第1章 绪论
• 1.1 问题的提出
• 1.1.1 有限元方法
• 1.1.2 无网格方法
• 1.1.3 自然单元法概况
• 1.2 论文的主要内容
• 1.3 研究的目的，方法和意义
• 1.3.1 目的
• 1.3.2 方法
• 1.3.3 意义
• 第2章 自然邻接插值
• 2.1 自然邻接插值概况
• 2.2 Voronoi结构及 Delaunay三角
• 2.3 自然邻接插值
• 2.3.1 构造特征
• 2.3.2 形函数特点
• 2.3.3 单位划分
• 2.3.4 线性一致性
• 2.3.5 自然邻接与形函数图示
• 2.3.6 平滑性
• 2.3.7 一维插值
• 2.3.8 二维插值
• 2.3.9 多维插值
• 2.3.10 边界（?）Ω的线性精度
• 第3章 形函数的数值计算方法
• 3.1 面积计算
• 3.2 三角形外接圆圆心及半径计算
• 3.3 形函数数值计算
• 3.4 模拟直裂纹
• 第4章 实例分析
• 4.1 积分方程
• 4.2 位移实验
• 4.3 平衡实验
• 4.4 悬臂梁
• 4.5 平板圆孔
• 第5章 结论与展望
• 5.1 本文的主要工作
• 5.1.1 自然邻接形函数分析
• 5.1.2 实例分析
• 5.1.3 推广价值
• 5.2 今后需要研究的问题
• 5.2.1 本论文研究方法的不足
• 5.2.2 今后需要进行的工作
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表的论文