变分法在离散哈密尔顿系统周期边值问题中的应用

论文摘要

非线性哈密尔顿系统一直是数学家和物理学家的重要研究对象。近年来这一领域中的新的研究成果已经在非线性分析、代数拓扑、数学物理和微分几何等诸多学科中产生了重大影响。 微分方程中的变分方法是把微分方程边值问题化为变分问题以证明解的存在性、解的个数等。变分理论涵盖的内容非常广泛。我们利用变分理论中的最小作用原理、极小极大原理，以及Morse理论研究了离散哈密尔顿系统的周期边值问题。 第一章是绪论，介绍了研究问题的背景、现状及我们的主要工作。 第二章利用Morse理论研究了一阶离散系统的周期解存在性。在已知系统具有非共振的平凡解的前提下，我们考虑了两种情形：非线性项在无穷远处是渐近线性的或超线性的。其中，当非线性项在无穷远处是渐近线性时，如果变分泛函在无穷远处的Morse指标和原点处的Morse指标不同，则离散系统存在非平凡的周期解。当非线性项在无穷远处是超线性增长，利用Morse理论证明了系统至少有三个周期解。 结合Morse理论和极小极大原理，第三章研究了二阶离散系统的周期解问题。如果非线性项在无穷远处和原点处都是渐近线性增长的，并且系统在无穷远处和原点处是共振的，我们得到了系统存在非平凡的周期解。 第四章讨论的是二阶离散系统具有变号势函数时周期解的存在性，讨论了渐近超二次和渐近次二次两种情形，给出了周期解存在的充分条件。这里利用的工具是Morse理论。 第五章研究了一阶离散系统的边值问题。我们构造了对应问题的变分泛函，并针对两种不同的情形，分别利用变分理论中的鞍点定理和最小作用原理，通过寻找变分泛函的临界点，得到了解的存在性结论。 利用Clarke对偶、最小作用原理，以及扰动技巧，第六章研究了带强迫项的一阶离散凸哈密尔顿系统的周期解存在性问题。我们引入了新的对偶作用泛函，证明了系统的周期解对应于对偶泛函的临界点，并且泛函在临界点处取其最小值。 通过讨论特征值问题，并结合第六章建立的Clarke对偶变分泛函，第七章研究了一阶离散凸哈密尔顿系统的次调和解和解的最小周期问题。其结果包含两个方面：(1)当哈密尔顿函数满足一定条件时，系统存在次调和解，并且随着周期趋向于无穷大，其次调和解是无界的，对应的最小周期也趋向于无穷大；(2)当

论文目录

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• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 问题研究的背景及意义
• 1.2 问题研究的现状及本文的主要工作
• 1.2.1 一阶渐近线性哈密尔顿系统周期解
• 1.2.2 二阶渐近线性哈密尔顿共振系统的周期解
• 1.2.3 一阶哈密尔顿系统边值问题
• 1.2.4 凸哈密尔顿系统的Clarke对偶方法
• 1.3 预备知识
• 第2章 离散哈密尔顿系统多个周期解存在性
• 2.1 引言及主要内容
• 2.2 基本引理
• 2.3 定理2.1.1的证明
• 2.4 定理2.1.3的证明
• 第3章 渐近线性共振差分问题的非平凡周期解
• 3.1 引言
• 3.2 一个例子及变分框架
• 3.3 主要结论的证明
• 第4章 位势变号差分问题的非平凡周期解
• 4.1 渐近超二次与渐近次二次差分问题
• 4.2 （PS）条件与局部环绕
• 4.3 定理4.1.1的证明
• 4.4 定理4.1.2的证明
• 第5章 具强迫项的离散哈密尔顿系统的边值问题
• 5.1 引言
• 5.2 作用泛函与基本引理
• 5.3 主要结论的证明
• 第6章 通过Clarke对偶寻找离散凸哈密尔顿系统的周期解
• 6.1 引言与主要结论
• 6.2 对偶作用泛函和基本引理
• 6.3 定理6.1.1的证明
• 第7章 离散凸哈密尔顿系统的次调和解与最小周期
• 7.1 引言与主要结论
• 7.2 特征值问题与基本引理
• 7.3 定理7.1.1的证明
• 7.4 定理7.1.2的证明
• 结论
• 参考文献
• 附录A（攻读学位期间所发表的学术论文目录）
• 致谢