论文摘要
偏序集分拆作为经典分拆在偏序集上的推广,是计数组合学的一个重要研究对象。著名组合数学家Stanley于1972年首先引入偏序集分拆这一概念,从而统一了许多经典的组合结构,包括分拆、有序分拆、多重分拆、平面分拆等。近四十年来,偏序集分拆的组合性质和算术性质引起了人们极大的兴趣,已得到了一系列丰富的研究成果。偏序集分拆在对称函数、表示论、丢番图方程组和不等式组等问题的研究中有非常广泛的应用。本文主要研究偏序集分拆的计数函数,即偏序集分拆函数,主要结果包括：1.我们引入偏序集上的两类变换和一类运算,以此为工具给出一种求偏序集分拆生成函数的递归方法。2.利用模形式理论,我们研究了偏序集分拆生成函数的算术性质,得到一系列裂钻分拆和多重分拆满足的拉马努金型同余式。本论文结构如下。第一章简要介绍偏序集分拆的基本概念和相关背景知识,包括几类经典的求偏序集分拆生成函数的方法,经典分拆函数及多重分拆函数的拉马努金型同余式。第二章给出一种求偏序集分拆生成函数的递归方法。我们定义了偏序集上的两类变换：删元和部分线性扩展,并分别给出了它们作用前后的偏序集上分拆的生成函数所满足的关系。我们将证明通过删元和部分线性扩展,任意偏序集均可变换为一个空偏序集。事实上,这一变换过程给出了求偏序集分拆生成函数的递归方法。另外,我们将偏序集上的直和及序和推广为部分偏序和,很多著名的偏序集都可由简单偏序集的部分偏序和生成。作为应用,我们考虑偏序集P与其自身的n次部分偏序和Pn,文中构造性地证明了其分拆的生成函数序列{.fPn,（x）}n>1满足一组递推关系式。特别地,我们解决了Souza等人利用“五项准则”方法无法处理的3行偏序集的分拆生成函数问题,并得到了基于重立方体偏序集的偏序集分拆生成函数。第三章主要研究裂钻分拆函数及多重分拆函数的算术性质。通过构造适当的η-商,我们利用Sturm定理得到了6个2裂钻分拆函数的拉马努金型同余式。关于n的r重分拆函数pr（n）的算术性质,我们证明了序列pr（（mkn+r）/24）的生成函数模mk后在空间Sγ，λ中,其中Sγ，λ是由复值函数η（24z）γΦ（24z）张成的空间,此处η（z）是η-函数,Φ（z）是Mλ（SL2（Z））中的一个整模形式。利用该结果,我们得到了一系列著名的拉马努金型同余式,如经典分拆函数p（n）模5,7,11的拉马努金同余式,Gandhi关于p2（n）模5和p8（n）模11的同余式,同时我们也得到了很多新的关于pr（n）的拉马努金型同余式。利用空间Sγ,λ是Hecke算子Ye2的不变子空间这一性质,我们得到了两类关于pr（n）模素数次幂的同余式。最后,针对一类特殊的多重分拆函数,我们给出了对应的拉马努金猜想和纽曼猜想之间的具体联系。