论文摘要
烛台形t设计（CS（t，K，v））是一类重要的组合设计，它常被用来构作其它的设计，在t平衡设计的递推构作中起到非常重要的作用．区组长度为4的烛台形3设计通常被称为烛台形四元系并且简记作CQS（gn：s）。烛台形设计首先由Hanani引入，在对3平衡设计进行研究的过程中，Mills，Hartman，Lenz，Granville等人都对CQS进行过讨论．Hartman和Phelps在他们1992年的综述文章“斯坦纳四元系”中，用较大篇幅介绍了CQS，对前人的工作进行了系统总结，并且提出了一个关于CQS的公开问题，即确定CQS（gn：s）存在的充分必要条件，在本文中，我们将部分解决该问题．3BD闭集是研究CQS的一个非常有力的工具，同时3BD本身也是组合设计中一个非常重要的研究课题．3BD闭集的已知结果很少，主要是Hanani确定的B3（{4}），B3（{4，6}）和季利均确定的岛（{4，5}），B3（{4，5，6}）．我们分别给出了3BD闭集K7和K8的一个有限生成集．并对B3（{4，5，7}）剩余的两类情形中的一类进行了讨论，利用A．Hartman关于3BD的基本构作，给出了S（3，{4，5，7}，12k+7）存在性的证明思路．全文共分为六章：第一章我们介绍了本文的研究背景，给出了烛台形四元系和3BD闭集的概念，对前人的工作进行了综述，并列出了本文得到的一些主要结果．第二章叙述了烛台形3设计和s-fan可分组3设计的基本构作，并给出了一个从s-fan可分组3设计到CS的构作和一个关于s-fan可分组3设计的存在结论．第三章，我们首先给出烛台形四元系存在的必要条件，然后讨论了n=4，5并且g为偶数情形下的烛台形四元系的存在性．得到在n=4时，必要条件也是充分的；在n=5且g为偶数的情形，必要条件也是充分的；并且得到对于任意的n∈{n≥3：n（?）2，6（mod 12）且n≠8)，都存在一个CQS（gn：s）．其中g≡0（mod 6），s≡0（mod 2）且0≤s≤g．在此过程中，我们还确定了区组长度为4的G设计的存在谱，即一个CQS（gn：0）存在的充分必要条件为n≡0（mod 3）且g≡0（mod 6），或者n≡1，2（mod 3）且g≡0（mod 2）．第四章我们讨论了两个3BD闭集K7和K8的有限生成集，得到：对任意（?）≥7，都存在S（3，K，v），其中K={7，8，…，48，51，…，55，59,60,61，62,66，…，70，83，84，…，95，123)．对任意v≥8，都存在S（3，K，v），其中K={8，9，…，49，51，…，63，66，…，71，75，…，79，83，…，97，104，123，…，127，171，…，183}．第五章我们首先给出了S（3，{4，5，7}，12k+7）的一个递归构作方法，然后对一些需要解决的小设计进行了讨论，得到如下结论：假设存在一个型为(1210：7)的CS（3，{4，5，7}，127），一个S（3，{4，5，7}，79）和一个S（3，{4，5，7}，115），那么对任意的k∈{k为非负整数}＼{1，17，26，27，29，31，33}，都存在一个S（3，{4，5，7}，12k+7）．第六章我们给出了一些进一步的研究问题．