基于B样条的常微分方程数值解法的研究

论文摘要

常微分方程历史悠久,应用广泛。在整个20世纪常微分方程的数值求解得到了巨大的发展。特别是随着计算机性能的快速提高以及一些著名的数学软件的不断深化发展,使得更多的新思想得以实现,更多的复杂方法涌现出来,常微分方程求解以及数值方法发展研究的领域有不断深化扩大的趋势。本文主要是将B样条函数用到求解常微分方程的数值求解问题中来。首先用三次B样条用来求解常微分方程初值问题,给出隐式的递推求解公式,并进行了相应的误差分析和稳定性分析。结果表明该方法的局部截断误差为0(h~5),整体截断误差为0(h~4),并且是稳定的。其次我们分别以准均匀B样条函数和Bernstein多项式为基函数来逼近常微分方程两点边值问题,通过求解相应的方程组得到常微分方程边值问题的数值解。并给出算例,用mathematica画出绝对误差的图形,通过实际的例子来比较常微分方程在两组不同的基函数下的误差情况。数值实验的结果表明随着Bernstein多项式次数的提高或者准均匀B样条函数分段的加密,逼近的效果越来越好、精度越来越高。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 选题背景以及研究意义
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 论文研究内容
• 第二章 常微分方程的基本概念与常用的数值解法
• 2.1 常微分方程的基本概念
• 2.2 常微分方程的初值问题与常用的数值解法
• 2.2.1 常微分方程的初值问题
• 2.2.2 初值问题常见的数值解法
• 2.3 常微分方程的初值问题与常用的数值解法
• 2.3.1 常微分方程的边值问题
• 2.3.2 边值问题常见的数值解法
• 2.4 本章小结
• 第三章 B样条求解初值问题的误差分析
• 3.1 B样条函数的基本知识
• 3.2 B样条函数求解初值问题的误差分析
• 3.2.1 初值问题数值解的求解公式
• 3.2.2 隐式求解公式的误差估计
• 3.3 本章小结
• 第四章 一类振荡微分方程在两组不同基下的数值解
• 4.1 Bernstein多项式以及准均匀B样条基函数
• 4.2 振荡微分方程的在两组基下的数值解
• 4.3 算例
• 4.4 本章小结
• 第五章 结束语
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间主要的研究成果