基于电场双旋度方程的三维可控源电磁法有限单元法数值模拟

论文摘要

大地电磁法由于天然场源信号的微弱性和随机性,在野外记录和数据采集方面需要花费巨大的努力。可控源电磁法由于人工源的加入恰恰可以解决大地电磁法的这个缺点,因此在矿产普查、油气勘探等方面得到了广泛的应用。当前对于可控源电磁法的研究主要集中于一维层状地质体的近似模拟或沿走向无限延伸地质体的二维模拟,但严格来讲,地球物理电磁场问题都应该在三维空间中进行讨论。三维条件下的可控源数值模拟不仅仅是一维、二维情况下的简单的扩展,许多一维、二维条件下不曾出现的问题在三维情况下都出现了。随着计算机硬件技术的不断发展,三维可控源电磁法正演逐渐变的可行。因此,本文就三维可控源电磁法数值模拟进行了深入的研究。从可控源电磁法的基本原理出发,推导了基于电场双旋度方程的边值问题,利用广义变分原理,把边值问题转换为变分问题,从而得到了基于电场双旋度方程的积分弱解形式,为其后的有限元计算奠定了理论基础。在准静态近似条件下,分别推导了水平电偶极子在空中和大地的远区电场闭合表达式,并以此作为有限元计算中的外边界条件,解决了边界条件加载的困难。把应用于地震模拟中的伪delta函数引入到可控源电磁法中的有限元模拟中,并把其扩展到三维情况下,用源周围的小块区域代替偶极子源,从而消除了源点的奇异性,提高了方程组的稳定性。针对三维可控源电磁法有限元模拟中形成的刚度系数矩阵巨大而且稀疏的特点,采用了全稀疏按行压缩存储的方法,极大的节省了存储空间,为在个人电脑上实现几万甚至几十万自由度的计算提供了保证。对于大型、稀疏复系数方程组的求解来说,由于其系数矩阵的条件数非常大,导致了方程组的严重病态,为了保证迭代法的快速收敛,本文采用不完全LDL~T预处理技术,降低了矩阵的条件数,加快了收敛速度,为迭代法高效求解大型方程组奠定基础。在预处理技术做保证的条件下,引入Krylov子空间迭代法,计算表明,该迭代方法结合预处理技术后收敛速度非常快,是高效快速求解电磁有限元模拟中形成的大型复系数方程组的最佳选择。由于源的加入,使可控源电磁法理论和数值模拟非常复杂,本文的三维有限元数值模拟基于电场的双旋度方程,避免了对电偶极子源求旋度,减少了程序编制的复杂性;同时,引入散度条件,保证电源点以外研究区域中电场散度为零,从而避免了伪解的出现,使有限元计算在理论上更加完备。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究目的和意义
• 1.2 可控源电磁法概况
• 1.3 地球物理电磁法数值模拟国内外发展现状
• 1.3.1 有限差分法
• 1.3.2 积分方程法
• 1.3.3 边界单元法
• 1.3.4 有限单元法
• 1.4 本文的内容结构和主要创新点
• 第二章 基于电场双旋度方程的可控源电磁法有限元基本原理
• 2.1 地电磁场边值问题
• 2.1.1 电磁法基本方程
• 2.1.2 边界条件
• 2.1.3 准静态极限下频率域电磁场的表示形式
• 2.1.4 电场双旋度方程的推导
• 2.2 电磁变分原理
• 2.2.1 标准变分原理
• 2.2.2 修正变分原理
• 2.2.3 广义变分原理
• 2.3 伽辽金有限元法
• 2.4 本章小结
• 第三章 大型稀疏复系数电磁场方程组Krylov迭代法快速求解
• 3.1 引言
• 3.2 稀疏矩阵的压缩存储
• 3.2.1 压缩存储方法介绍
• 3.2.2 几种传统的压缩存储方法
• 3.2.3 按行压缩存储方法及计算机实现
• 3.2.4 块按行压缩存储方法及计算机实现
• 3.2.5 几种压缩方法存储量的比较
• 3.3 矩阵的预处理技术
• 3.3.1 预处理技术介绍
• 3.3.2 矩阵的条件数
• T分解'>3.3.3 完全IDL^T分解
• T预处理'>3.3.4 不完全LDL^T预处理
• 3.4 Krylov子空间方法
• 3.4.1 Krylov子空间简介
• 3.4.2 共轭梯度法的推导
• 3.4.3 共轭梯度算法
• T）^-1r'>3.4.4 快速求取（LDL^T）^-1r
• 3.4.5 复双共轭梯度算法
• 3.4.6 稳定双共轭梯度法
• 3.5 数值算例
• 3.6 本章小结
• 第四章 可控源电磁法远区电场闭合表达式及一维解析解分析
• 4.1 可控源电磁法远区闭式表达式
• 4.1.1 基于磁矢量位的洛伦兹规范条件下的电场表达式
• 4.1.2 均匀半空间中磁矢量位表达式
• 4.1.3 均匀半空间中电场各分量的远区闭合表达式
• 4.2 均匀半空间电场的解析解
• 4.3 层状模型下电场的解析解
• 4.4 快速汉克尔变换
• 4.5 本章小结
• 第五章 可控源二维线源有限元数值模拟
• 5.1 线源边值问题
• 5.1.1 控制微分方程
• 5.1.2 边界条件
• 5.2 等价变分问题
• 5.3 有限单元分析
• 5.3.1 网格剖分
• 5.3.2 单元分析
• 5.3.3 总体合成
• 5.4 线源的加载
• 5.5 视电阻率及相位的计算
• 5.6 数值模拟结果
• 5.6.1 均匀半空间模型
• 5.6.2 低阻异常体模拟
• 5.6.3 高阻异常体模拟
• 5.6.4 两个低阻异常体模拟
• 5.7 本章小结
• 第六章 可控源三维有限元数值模拟
• 6.1 基于电场双旋度方程的三维可控源边值问题
• 6.1.1 控制微分方程
• 6.1.2 边界条件
• 6.1.3 源的加载
• 6.1.4 视电阻率和相位的计算
• 6.1.5 电场变分公式
• 6.1.6 散度条件
• 6.2 有限元分析
• 6.2.1 网格剖分
• 6.2.2 单元分析
• 6.2.3 数值积分
• 6.3 数值模拟结果
• 6.3.1 程序的正确性检验及精度分析
• 6.3.2 均匀半空间和层状模型
• 6.3.3 单个异常体模拟
• 6.3.4 组合异常体模拟
• 6.3.5 地嵌模型模拟
• 6.3.6 阴影效应的模拟
• 6.4 本章小结
• 第七章 结论与建议
• 7.1 结论
• 7.2 建议
• 参考文献
• 附录
• 附录1:矢量恒等式与积分公式
• 附录2:按行压缩部分子程序
• 附录3:刚度矩阵组装部分子程序
• 附录4:ILDLT预处理部分子程序
• 附录5:求解复系数方程部分子程序
• 致谢
• 攻读博士学位期间主要的研究成果