三次几何Hermite插值及其优化

论文摘要

几何Hermite插值(GHI),即要求插值于给定的两端点及端点处的切方向和曲率等条件。在几何造型和工程设计中有着广泛的应用。本文在总结现有算法的基础上,提出了一种新的构造算法。论文共分三个部分。第一章为绪论部分,简单介绍了计算机辅助几何的起源,几何Hermite插值的国内外研究现状。简单综述了几何连续性,三次样条曲线以及Bézier曲线的相关性质。第二章通过引入一个新的节点,提出了一类G~1连续的三次几何Hermite插值曲线的构造方法,给出了能量最小化时对应的参数取值公式。所给表达式中保留了切向的合理调节参数及局部控制参数。讨论了在各种插值条件下如何选取自由参数才能得到光滑的曲线。然后分析了算法的利弊,并针对算法的缺点给出两种相应的改进算法。第三章在第二章的基础上通过引入两个新的节点,给出了G~2连续的三次几何Hermite插值曲线的构造方法及能量最小化时对应的参数取值公式。算法包含5个自由参数,分别可以控制插值曲线的切向量长度、曲率向量长度以及对曲线进行局部修改。同时论文中给出了一些具体的应用图形,图形都是根据本文算法用Matlab绘制的。实例表明文中所构造的算法是合理有效的。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 计算机辅助几何起源
• 1.2 GHI的研究现状
• 1.3 几何连续性
• 1.4 参数三次样条曲线的光顺性
• 1.5 贝齐尔曲线
• 1.5.1 贝齐尔的定义
• 1.5.2 贝齐尔曲线的性质
• 1.5.3 三次贝齐尔曲线的几何特征
• 第二章 带一个节点的三次Hermite插值
• 2.1 插值算法的构造
• 2.1.1 建立插值
• 2.1.2 三次GHI曲线的应变能
• 2.1.3 样条曲线优化前后比较
• 2.2 曲线、插值条件和参数之间的关系分析
• 2.3 利弊分析及改进
• 2.3.1 算法的利弊分析
• 2.3.2 算法的改进
• 2.4 非能量最小的GHI构造方法
• 2.5 图例
• 2.6 本章小结
• 第三章 带两个节点的三次Hermite插值
• 3.1 插值算法的构造
• 3.1.1 插值建立
• 3.1.2 三次GHI曲线的应变能
• 3.1.3 插值曲线优化前后比较
• 3.2 图例
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士期间发表的论文情况