大规模稀疏线性方程组的预条件迭代法的研究

论文摘要

在科学计算与工程应用领域,如核能工业、石油工业、电路计算机辅助设计和分析、偏微分方程数值解、图像处理等,许多问题的计算最后往往归结为大规模线性方程组的求解,而这也恰恰是计算中最耗时的部份.因此,设计求解线性方程组的有效算法是大规模科学计算领域一个非常重要的课题.众所周知,求解线性方程组的数值方法主要有两类,即直接法和迭代法.直接法主要是基于将系数矩阵分解成容易求逆的矩阵.当系数矩阵为小型稠密的矩阵时,直接法比较受欢迎.然而,当系数矩阵为大规模稀疏矩阵时,迭代法往往被使用.迭代法在求解大规模线性方程组时较直接法有许多优势,但是迭代法也存在一个普遍的缺点,即收敛速度较慢.因此,结合各种预条件技术的迭代法得到了广泛的研究和应用.本文主要研究大规模线性方程组的预条件迭代求解算法.首先,利用离散余弦变换给出了对称Toeplitz线性方程组的一个预处理子；其次,结合Krylov子空间方法和预处理技术,给出了变预处理子SOR-双共轭残量算法,理论和数值实验验证了算法的有效性；由于HSS迭代在求解非埃米特正定线性方程组时非常有效,因此在变预处理子SOR-双双共轭残量算法的基础上,研究并给出了求解非埃米特正定线性方程组的变预处理子HSS-广义共轭残量法；最后,研究了下三角Toeplitz矩阵的数值求逆问题,给出了一个基于离散正弦变换的快速求逆算法.本文共分六章,组织如下：第一章介绍了求解大规模稀疏线性方程组的预条件迭代法的研究背景、研究现状及相关预备知识,同时介绍了本文的主要研究内容.第二章考虑了对称Toeplitz线性方程组的求解问题,研究给出了一个基于离散余弦变换的预处理矩阵,同时给出了该预处理矩阵的快速构造算法.数值实验显示了该预处理矩阵的有效性.第三章结合Krylov子空间方法和预处理技术,给出了变预处理子SOR-双共轭残量算法,并且给出了算法的收敛性分析.通过数值实验,验证了算法的有效性.第四章在变预处理子SOR-双共轭残量算法的基础上,研究并给出了求解非埃米特正定线性方程组的变预处理子HSS-广义共轭残量法.第五章研究了下三角Toeplitz矩阵的数值求逆问题,给出了一个快速求逆算法.第六章对全文的工作进行了总结,并对今后的研究方向作了一些展望.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 预备知识
• 1.3 本文研究的主要内容
• 第2章 对称TOEPLITZ线性方程组的基于余弦变换的最佳预优矩阵
• 2.1 引言
• n-对角化矩阵空间'>2.2 C_n-对角化矩阵空间
• 2.3 基于离散余弦变换的最佳预优矩阵
• 2.4 数值实验
• 2.5 小结
• 第3章 变预处理子SOR-双共轭残量法
• 3.1 引言
• 3.2 变预处理子SOR-双共轭残量法
• 3.3 算法的收敛性质
• 3.4 内循环终止条件
• 3.5 数值实验
• 第4章 求解非埃米特正定线性方程组的变预处理子HSS-广义共轭残量法
• 4.1 VPGCR和HSS迭代法
• 4.2 变预处理子HSS-广义共轭残量法及收敛性分析
• 4.3 数值实验
• 第5章 下三角TOEPLITZ矩阵快速求逆
• 5.1 引言
• 5.2 下三角TOEPLITZ矩阵及一些相关性质
• 5.3 算法的推导
• 5.4 算法的误差和计算量分析
• 第6章 结束语
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间的已发表和已完成的论文