三次多项式微分系统的反射函数

论文摘要

众所周知,客观世界中许多物体的运动可归结为微分系统的形式,因此为了研究它们的运动规律只需要研究系统（*）解的性态.如果X （t + 2ω, x ） = X （t , x）（ω是正的常数）,为了研究解的性态,我们借助文[7]介绍的Poincaré映射.但是对于一些不可积的系统来说,寻找Poincaré映射显得很困难.在上个世纪八十年代,前苏联数学家Mironenko在文[9]中首先建立了反射函数的理论.它利用微分系统对几个变量的对称性,特别是时间变量的对称,把t换成?t ,来研究解的性态.自此,有了一种较新的方法来研究系统（*）的性态.假设X （t , x ）是定义在R×Rn上的连续可微函数,满足解对初值的存在唯一性.是系统（*）一个解,且满足x （t 0 ）= x0,则系统的反射函数可定义为:当系统（*）为2ω?周期系统时,它的Poincaré映射为:因此对于系统（*）的任意一定义在区间[-ω,ω]上的解x （t ）,它为2kω?周期解的充要条件: x := x （ -kω）是方程F （- kω, x ）= x的解.借助反射函数来研究周期系统解的性态是一个崭新的课题,有许多问题值得研究.本文主要研究了三次变系数多项式微分系统（其中ai （t ）, bj（t ）为连续可微函数, t∈R）的反射函数为时, F2 （t , x , y ）的具体的表达式,并得出了的好结果.应用该结果,我们给出了该三次多项式微分系统具有形如T的反射函数的充要条件,同时得出了,在该三次多项式微分系统为2ω?周期系统时的Poincaré映射及其周期解的性态.本文推广了文献[18] [22]中有关二次多项式微分系统研究的相关结论.最后本文列举了若干例子,验证上述结论是正确的.相关结论在生物数学和控制理论方面都有着广泛的应用.

论文目录

• 摘要
• 英文摘要
• 1 引言
• 2 预备知识
• 2.1 Poincaré 映射
• 2.2 反射函数及其性质
• 2.3 反射函数与 Poincaré 映射的关系
• 3 主要结论
• 4 应用举例
• 参考文献
• 致谢