Kaehler流形上的超全纯理论和Clifford分析

论文摘要

多复变函数论和单复变函数论在本质上有许多不同.例如在多复变数中有著名的Hartogs现象,在单复变数中却没有;著名的Riemann映射基本定理在多复变数空间中不再成立;单复变数中在单叶单连通区域上只有一个Cauchy公式,在多复变数中互不等价的区域上却有不同的积分表示;在单变数中Borel-Pompeiu（或Cauchy-Green）公式由于它的核是全纯的,所以可以直接用来解（?）-方程,但在多复变数中相应于Borel—Pompeiu（或Cauchy—Green）公式的Bochner—Martinelli公式由于它的核不是全纯的,所以不能用它来直接解（?）-方程,可以说多复变函数论是在不断的寻找新方法和解决问题中发展起来的.对Cn中强拟凸域的（?）-问题的解的积分表示是在上世纪六七十年代由G.M.Henkin,H.Grauet和I.Lieb通过构造新的单位分解和构造新的积分核得到解决的.2002年R.Rocha-Chávez,R.Shapiro和F.Sommen从另一个角度研究了Cn空间中（?）-方程的解的积分表示问题.他们通过构造一个2×2的矩阵值（?）算子和2×2的矩阵值积分核得到一个Borel—Pompeiu公式,直接求解了2×2矩阵值微分形式的（?）-方程.本文则对Kaehler流形上的（?）-方程进行了讨论,得到了Kaehler流形上2×2矩阵值微分形式的（?）-方程解的积分表示,并在Clifford空间中讨论了这个问题.首先我们在第一章陈述了复流形和Kaehler流形的基本定义和相关内容,以及Kaehler流形上的Hodge—Laplace算子和协变导数.其次讨论了复流形上的不变积分核,指出了在Kaehler流形上若C(T1.0（M×M）)=D=0,则这个不变积分核[Ω（（?）,η）就是Hodge-Laplace方程△=2□=2（?）=0的基本解.在第二章我们设计了Kaehler流形上的一个2×2矩阵值的微分形式,然后利用Kaehler流形上Hodge-Laplace算子的性质又设计了一个Cauchy—Riemann算子（?）和2×2矩阵值的不变积分核,其中这个积分核是（?）零集的.利用这个不变积分核和Cauchy—Riemann算子导出了关于矩阵值微分形式的Borel—Pompeiu公式,然后利用关于矩阵值微分形式的Borel—Pompeiu公式直接解决了Kaehler流形上超全纯（?）-问题,即定理2.2和定理2.3.第三章,利用三个关系式（3.2）,（3.3）,（3.4）定义了一个复的Clifford代数Wn和Witt基.利用Witt基定义了Kaehler流形上作用于Wn值函数的两个算子（?）和（?）,并且讨论了这两个算子同Hodge—Laplace算子△之间的关系.在Witt基下,本章设计了Kaehler流形上的一个矩阵Dirac算子（?）和关于（?）n-值函数的2×2矩阵值的不变积分核,得到了关于（?）n-值函数的Borel—Pompeiu公式,并且定理3.5讨论了在Witt基下超全纯理论和Clifford分析之间的关系.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 引言
• 一、多复变数的积分表示
• 二、Kaehler流形上关于函数和微分形式的积分
• 第一章 Kaehler流形和不变积分核
• §1.1 Kaehler流形
• §1.2 不变积分核
• 第二章 Kaehler流形上超全纯（?）-问题
• §2.1 关于光滑矩阵值微分形式的Borel-Pompeiu（或Cauchy-Green）公式
• §2.2 超全纯（?）-问题
• 第三章 Kaehler流形上的超全纯理论和复Clifford分析
• §3.1 复Clifford代数
• n-值函数的Borel-Pompeiu公式'>§3.2 关于（?）_n-值函数的Borel-Pompeiu公式
• §3.3 超全纯理论和复Clifford分析
• 参考文献
• 作者在攻读博士学位期间完成和发表的有关学术论文
• 致谢