论文摘要
设X=X（G，S）是群G上的关于S的Cayley图，其中S是G的不包含单位元的逆闭子集。当群G取循环群Zn时，我们称Cayley图X（Zn，S）为循环图。本文主要结果分为三个部分，第一部分给出了Abel群上Cayley图的谱的表达式；第二部分刻画了一类Abel群上整Cayley图；第三部分讨论了整循环图的支撑树的个数问题。第一章介绍了背景，基本概念以及相关结果。第二章主要研究Abel群上Cayley图的谱。文献[1]给出了循环图的谱，文献[14]中，L．Lovasz给出了点传递图的谱，L．Babai在文献[2]中根据群G的不可约特征得到了Cayley图X（G，S）的谱的表达式。然而，他们得到的Cayley图的谱的表达式不是精确表达式。当群G取Abel群Zn1×ZN2×…×Znt时，我们根据本原n次单位根给出了Abel群上Cayley图的谱的公式，我们利用这个公式得到了k立方体Qk的谱的新的精确表达式。第三章研究了整图的问题。1974年，Harary和Schwenk[12]提出一个问题”什么样的图有整数的谱?”通过k立方体Qk的谱的精确表达式我们很容易可以看出来k立方体Qk是整图。Wasin So在文献[16]中完全刻画了整循环图，给出了整循环图的充要条件。根据这个充要条件我们得到了Abel群上Cayley图的整性的充分性，并且我们找不到其他的S∈G使得Abel群上的Cayley图X（G，S）是整的，我们就提出了一个问题，即这个充分条件是否是必要的?第四章研究了整循环图的支撑树的个数问题。图的支撑树的个数是一个重要的不变量，也是网络可靠性的一个重要方法。计算一些点传递图的支撑树的个数也是一个有趣的问题，特别对于循环图。循环图X（Zn，{±1，±2}），X（Zn，{±1，±3}），X（Zn，{±1，±4}），X（Zn，{±1，±5}），X（Zn，{±2，±3}），X（Zn，{±2，±4}）的支撑树的个数在文献[10]，[19]，[20]中可以找到。本文给出了整循环图X（Zn，S）以及它的线图的支撑树的个数，其中n=2p，p是一个素数。