非光滑方程的光滑化换元修正牛顿型方法

论文摘要

非光滑方程的数值求解是计算数学和数学规划中的重要研究课题,它为数学规划中许多问题的研究提供了一个统一的理论框架,非线性互补问题、变分不等式问题及各类优化问题,都可转化为非光滑方程的求解问题。近年来,关于非光滑方程,特别是互补问题、变分不等式问题的数值解法的研究得到了国际国内学者的极大重视,在投影类方法、广义牛顿法、光滑化牛顿法和拟牛顿法等方面取得了丰富的研究成果,奠定了非光滑方程解法的理论基础并为非光滑方程的求解提供了很多有效、实用的方法。实际中经常遇到稀疏非光滑方程,即非光滑映射的Jacobi矩阵或广义Jacobi矩阵是稀疏矩阵的非光滑方程。如何利用稀疏性更有效的求解这类问题是需要进一步考虑的问题。对光滑非线性方程组和光滑无约束优化问题,换元修正牛顿型法是一类能够有效利用稀疏性的迭代法。它可以尽可能少的计算近似Jacobi矩阵或Hesse矩阵,并具有介于1和2之间的收敛速度,因而适用于求解大规模稀疏问题。本文考虑稀疏非光滑方程的换元修正牛顿型算法。首先给出了光滑化的换元修正牛顿型算法及理论分析,然后将牛顿法和换元修正牛顿型方法相结合,给出了光滑化的牛顿—换元修正算法,在较弱的条件下证明了该方法的超线性收敛性。最后应用该算法求解一类具体的非光滑方程—箱约束变分不等式问题。初步的数值试验结果表明,该方法是行之有效的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 研究求解非光滑方程的目的及意义
• 1.2 非光滑方程求解的研究现状
• 1.3 基本定义、定理及符号说明
• 1.4 本文主要工作
• 2 预备知识
• 2.1 拟Newton法
• 2.1.1 拟Newton校正公式及其性质
• 2.1.2 拟Newton算法结构
• 2.2 换元修正牛顿型方法
• 2.2.1 换元修正牛顿型算法
• 2.2.2 换元修正牛顿型算法的收敛性
• 2.3 光滑化方法
• 2.3.1 光滑化方法基本思想
• 2.3.2 光滑逼近函数基本理论
• 3 光滑化换元修正牛顿型方法
• 3.1 光滑化换元修正牛顿型算法框架
• 3.2 光滑化换元修正牛顿型算法局部收敛性
• 3.3 光滑化换元修正牛顿型算法全局收敛性
• 4 光滑化Newton—换元修正方法
• 4.1 光滑化Newton—换元修正算法框架
• 4.2 光滑化Newton—换元修正算法收敛性
• 4.3 数值实验
• 4.3.1 问题背景
• 4.3.2 问题及结果分析
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢