一类新的求解一阶刚性常微分方程的线性多步法

论文摘要

在自然界和工程技术的很多科学领域中,经常遇到使用常微分方程来描述其物理或化学过程。很多这样的过程中往往包含了许多相互作用但变化速度相差十分悬殊的子过程,称之为“刚性”现象。这就导致了相应的常微分方程(刚性问题)的数值求解存在很大的复杂性。刚性问题本身的重要性以及在不同领域的广泛应用,使得刚性常微分方程的数值求解成为计算数学上非常重要的研究方向。在常微分方程初值问题的数值方法中,线性多步法是最简单、使用最广泛的方法之一。本文的主要任务就是寻求一类新的求解刚性常微分方程的线性多步法。首先,我们回顾了线性多步法的基本构造思想、线性多步法的阶数和稳定性理论、刚性问题的基础知识以及适用于刚性问题的稳定性概念。同时介绍了拉格朗日插值公式和牛顿插值公式,这些都是本文所要构造的线性多步法的理论基础。其次,基于以上方法,我们构造了阶数从3阶到7阶的此类线性多步法,并讨论了各自的稳定性问题,描绘出它们各自的绝对稳定区域。最后,我们将本文所构造的线性多步法应用到刚性方程上,数值实验的结果表明,随着数值方法阶数的提高,实验误差反而在增大。这也与实际计算中高次插值会产生的Runge现象相符。所以并非精度越高越适宜求解刚性问题,解决刚性问题不能单纯通过提高数值方法的精度来实现。这使我们对求解刚性问题的数值方法有了更进一步的认识。论文的完成过程更是一个学习的过程。在这期间,发现问题并想方设法解决问题也是对我科研能力的良好锻炼,同时也为今后的研究工作积累了宝贵的经验。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题来源及研究的目的和意义
• 1.2 国内外在该方向上的研究现状
• 1.3 本文研究的主要内容
• 第2章 线性多步法理论
• 2.1 引言
• 2.2 线性多步法基本理论
• 2.2.1 线性多步法的定义
• 2.2.2 线性多步法的阶
• 2.2.3 线性多步法的数值稳定性
• 2.3 刚性问题及其稳定性
• 2.4 本章小结
• 第3章 求解一阶刚性问题的线性多步法
• 3.1 预备知识
• 3.1.1 拉格朗日插值多项式
• 3.1.2 牛顿插值多项式
• 3.2 本文推广的线性多步法的构造
• 3.2.1 方法的构造
• 3.2.2 方法的阶数
• 3.2.3 方法的稳定性分析
• 3.3 数值算例
• 3.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢