随机微分方程指数Euler方法的收敛性和稳定性

论文摘要

随机微分方程的发展已经有60余年了,从20世纪40年代日本数学家伊藤清创立了随机微积分的理论后,随机微分方程有了迅速的发展,并在经济、生物、物理、通信、自动化等领域有着广泛的应用。但在很长的段时间内,计算机处理能力不够强大,使得在分析实际问题时为了简化系统都不考虑随机因素的影响。然而,近年来,随着计算机技术和计算方法的快速发展,人们已经构造出了很多计算随机微分方程的数值方法,这就意味着我们可以利用计算机程序对随机系统进行模拟求解。因为所研究问题本身的复杂性,一般很难求得方程解析解的表达式,所以数值方法的构造就显得尤为重要。本文就基于此,构造了指数Euler方法的数值格式,并把它应用于随机微分方程中,然后主要讨论了此数值方法的收敛性与稳定性。本文在随机微分方程的基本理论背景出发,首先给出了几种经常用到的数值方法,又介绍了常微分中的指数Runge-Kutta方法,得到了它的一阶形式即指数Euler方法。然后证明了指数Euler方法应用于半线性随机微分方程的强收敛阶为0.5阶,并且用一个数值算例验证了指数Euler方法的收敛阶。接着分析了指数Euler的稳定性（均方稳定性,几乎必然稳定性,p阶矩稳定性等等）,解出了指数Euler用于线性标量随机微分方程的均方稳定区域,并且发现指数Euler方法的均方稳定区域包含了EM方法的均方稳定区域,并且包含了线性方程解析解的均方稳定区域。接着给出了一个数值试验,在EM方法不稳定的情形下,指数Euler方法依然能较好地保持了方程的稳定性。并且给出了一个指数Euler方法应用于半线性随机微分方程中是均方稳定性的一个充分条件。在半线性随机微分方程的解析解是几乎必然指数稳定和p阶矩指数稳定的条件下,当步长h取得充分小时,用指数Euler方法得出的数值解能够保持方程解析解的这两个性质。最后从数值实验的角度出发验证了它的几乎必然稳定性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 随机微分方程的研究背景
• 1.2 随机微分方程的发展现状
• 1.3 本文的结构及主要工作
• 第2章 随机微分方程的预备知识
• 2.1 引言
• 2.2 布朗运动的数学模型
• 2.3 随机积分及伊藤微分法则
• 2.4 随机微分方程解的存在唯一性
• 2.5 本章小结
• 第3章 指数Euler方法数值解的收敛性
• 3.1 引言
• 3.2 指数Euler法的收敛性分析
• 3.3 对收敛阶的数值模拟结果
• 3.4 本章小结
• 第4章 随机微分方程解的稳定性分析
• 4.1 引言
• 4.2 指数Euler方法的均方稳定区域
• 4.3 数值实验对指数 Euler方法稳定性的验证
• 4.4 指数Euler方法在半线性随机微分方程中的均方稳定性
• 4.5 指数Euler方法的几乎必然稳定性与P阶矩稳定性
• 4.6 本章小结
• 第5章 数值实验
• 5.1 验证指数Euler方法的精度算例
• 5.2 数值实验2
• 5.3 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢