Bott函数等值面的Betti数

论文摘要

Bott函数（又称广义Morse函数）是Morse函数的推广。Morse理论揭示流形的拓扑性质与Bott函数的临界点之间的联系。对于一个Hamilton系统,其相轨线位于该系统的等能面（即系统的Hamilton函数的等值面）上,因此一个Hamilton系统的相轨线的拓扑结构依赖于系统的等能面的拓扑性质。当系统的Hamilton函数是Bott函数时,可利用Morse理论对系统的等能面的拓扑性质作出研究。在文献[13]中,古志鸣利用Morse不等式对Hamilton系统等能面的1维Betti数上界作出估计。在文献[4]中,Atiyah证明了临界点指数与余指数不等于1的Bott函数等值面是连通的（即等值面0维Betti数为1）,这条定理在矩映射凸性定理的证明中起着关键作用。从上面的讨论中可以看出Bott函数等值面的Betti数的研究具有重要意义。本文致力于Bott函数等值面的Betti数的研究,得到下面三个结果:1.得到一个与Bott函数等值面有关的相对同调群公式,利用此公式和文献[13]的方法得到Bott函数等值面Betti数上界、下界估计。2.对于临界点指数与余指数不等于1的Bott函数,利用Morse不等式以及Lefshetz对偶定理给出其等值面连通性的新证明,并且给出与其临界值对应的等值面连通性的证明。3.对于临界点指数不等于奇数的Morse函数,利用Mayer-Vietoris正合同调序列和Morse函数的间隔原理得到了其等值面的Betti数恒等式。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 第二章 Bott 函数等值面的Betti 数估计
• 2.1 预备知识
• 2.2 主要结果及其证明
• 第三章 临界点指数与余指数不等于1 的Boot 函数等值面的连通性
• 3.1 预备知识
• 3.2 主要结果及其证明
• 第四章 临界点指数不等于奇数的Morse 函数等值面的Betti 数恒等式
• 4.1 预备知识
• 4.2 主要结果及其证明
• 第五章 总结与展望
• 5.1 全文总结
• 5.2 今后工作展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表的主要论文