Stokes流问题中的辛体系方法

论文摘要

在化学工程、环境工程、物理化学、生物力学、地球物理、气象等领域中大量的问题归结为粘性流体问题。因而近百年来对这个问题的研究一直没有间断,并且随着其广泛应用,近几十年来发展成为了一个比较活跃的领域和方向。Stokes流是粘性流体问题的主要的和经典的流动模型。在该问题的研究中,传统的方法是在拉格朗日体系下欧几里德空间中进行问题的求解,不可避免地带来了高阶偏微分方程的求解和边界条件处理难等问题。因此针对此问题探讨一种新的和有效的求解方法是必要的。本文从不可压缩牛顿流体的本构方程和Stokes方程出发,借助于耗散能导出问题的哈密顿作用量,即拉格朗日函数,从而获得哈密顿密度函数。进一步利用变分方程,建立了正则(对偶)方程组。这样将辛体系(哈密顿体系)的理论引入到了平面和空间Stokes流问题中。在辛空间中,问题的求解归结为正则方程的本征值与本征解的问题。利用本征解之间的辛共轭正交归一关系和其完备性,原问题的解可以由本征解的线性组合表示。结合边界条件可确定解析解和半解析解,从而建立了一套辛体系求解方法。本文以二维和三维问题的Stokes流问题作为首要研究对象,并对非定长小雷诺数流问题进行了探讨。主要研究工作如下:首先,将辛体系引入到二维Stokes流问题中,并研究了板驱动流动、剪切流动、入口流动及二维管道流动等问题,得到了问题解的解析表达式,并进行了数值计算,给出了流场的速度、应力、压强等的物理特性,同时还给出了流线图、矢量图。在分析了数值结果的基础上,揭示了Stokes流的流动机理,特点及流动的端部效应等现象。其次,将辛体系方法推广到空间Stokes流问题中,并求解出零本征值本征解和非零本征值本征解。研究了空间问题中本征解之间特殊的辛正交共轭关系,给出了各阶非零本征解的模态。研究了空间入口流问题中入口长度和入口半径之间的关系曲线,得到一些规律。对端部旋转板引起的空间流动问题也进行了研究和讨论。最后,对非定常小雷诺数流问题进行了探讨。研究结果表明,对偶方程(正则方程)的本征解具有明确的物理意义:零本征值本征解描述了基本的流动,而非零本征值本征解则显示着局部效应的特点,它可直接描述边界效应及其衰减过程。辛体系方法是一种简单、直接、高效的求解方法。它同时也为其它问题的研究提供了一种思路。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 Stokes流问题的发展现状
• 1.3 Stokes流问题解法简介
• 1.3.1 Stokes流问题的解析法
• 1.3.2 Stokes流问题的半解析半数值法
• 1.4 二维平面Stokes流问题的求解
• 1.4.1 板驱动空腔中的Stokes流
• 1.4.2 剪切流问题
• 1.4.3 入口流问题
• 1.5 三维Stokes流问题的求解
• 1.6 辛对偶体系（哈密顿体系）
• 1.6.1 辛体系（哈密顿体系）的发展过程
• 1.6.2 辛体系（哈密顿体系）的研究现状
• 1.7 本文的研究工作内容
• 2 基本理论与知识
• 2.1 引言
• 2.2 辛空间定义及其基本性质
• 2.3 哈密顿算子及其本征问题的特点
• 2.4 哈密顿原理与哈密顿正则方程
• 2.5 Stokes流的基础知识
• 2.5.1 粘性流体的几个概念
• 2.5.2 Stokes流的定义及成立的条件
• 2.5.3 Stokes流问题的数学提法
• 2.5.4 Stokes流问题的各种表示形式
• 2.5.5 Stokes流问题的特点
• 2.6 小结
• 3 平面Stokes流问题中的辛体系
• 3.1 引言
• 3.2 平面问题的辛对偶求解体系
• 3.2.1 平面Stokes流问题的基本问题描述
• 3.2.2 平面Stokes流动的基本问题
• 3.2.3 齐次边界条件下的Hamilton体系和对偶方程
• 3.2.4 共轭辛正交归一关系
• 3.2.5 零本征解与几个基本流动
• 3.2.6 非零本征值问题的解
• 3.2.7 非齐次方程的特解
• 3.2.8 非零本征解的特性
• 3.2.9 解的收敛性与非零本征值解的物理意义
• 3.3 小结
• 4 板驱动空腔中的Stokes流问题
• 4.1 引言
• 4.2 板驱动矩形空腔流问题的基本理论
• 4.2.1 板驱动矩形空腔中Stokes流问题的基本方程和变分原理
• 4.2.2 零本征解与基本流动
• 4.2.3 非零本征解与基本流动
• 4.2.4 端部边界条件的展开形式
• 4.2.5 无量纲化各物理量
• 4.3 单板驱动的矩形空腔流
• 4.3.1 经典算例
• 4.3.2 不同L时的流线
• 4.4 双板驱动的矩形空腔流
• 4.4.1 整体板驱动的流动（双板同向、双板反向）
• 4.4.2 部分板驱动的矩形空腔流动
• 4.5 混合边界条件下的板驱动流动
• 4.6 小结
• 5 二维管道问题中的剪切流和入口流
• 5.1 引言
• 5.2 二维剪切流和入口流的基本理论
• 5.3 剪切流
• 5.4 二维管道入口流
• 5.5 小结
• 6 三维柱坐标下的Stokes流问题中的辛体系
• 6.1 引言
• 6.2 柱坐标系下空间的辛对偶求解体系
• 6.2.1 柱坐标系下Stokes流问题的基本问题描述
• 6.2.2 辛体系和哈密顿对偶方程
• 6.2.3 共轭辛正交归一关系
• 6.2.4 零本征解
• 6.2.5 哈密顿子体系
• 6.2.6 非零本征解
• 6.2.7 非零本征值和非零本征解的性质
• 6.2.8 非零本征值本征解的性质
• 6.2.9 非零本征值的数值解和非零本征解的模态
• 6.3 柱坐标系下端部条件的展开形式
• 6.4 小结
• 7 轴对称Stokes流问题的研究
• 7.1 引言
• 7.2 轴对称Stokes流问题的基本理论
• 7.2.1 哈密顿体系下轴对称问题的侧边界条件
• 7.2.2 零本征解与基本流动
• 7.2.3 非零本征解及问题解的形式
• 7.2.4 入口流问题的研究
• 7.2.5 端部旋转板对流场影响的问题的研究
• 7.3 本章小结
• 8 非定常小雷诺数流问题中的辛体系
• 8.1 引言
• 8.2 基本问题
• 8.3 辛本征解方法
• 8.3.1 导入哈密顿体系
• 8.3.2 共轭辛正交归一关系
• 8.3.3 零本征解与非零本征解
• 8.3.4 零本征解的形式
• 8.3.5 非零本征解的形式
• 8.4 小结
• 结论
• 参考文献
• 创新点摘要
• 攻读博士学位期间发表学术论文情况
• 致谢