双参数非协调元VS各向异性和超收敛问题

论文摘要

本文应用双参数法构造了一个八自由度十二参非C0非协调板元,分析了其各向异性收敛性与超收敛性,证明了其对四阶椭圆奇异摄动问题的各向异性收敛性,从而显示了双参数有限元新的优越性. 传统有限元的收敛性分析基于下列正则性条件:存在常数c与单元K和剖分无关,使得hK/ρK≤c,其中hK和ρK分别是K和K的最大内切球的直径.因此最近出现了一些各向异性有限元的研究,即研究满足什么条件,单元收敛性与hK/ρK无关.本文首先分析了当前国际上的一些各向异性插值结果,主要是Apel的一些结果以及经典的Ciarlet的结果.我们的方法是对Apel[2,3]的方法进行了改进,给出了一种更易于操作的方法. 众所周知,并不是所有的有限元插值都满足各向异性插值,如著名的不完全双二次板元,形函数空间取为span{1,x,y,xy,x2,y2,x2y,xy2},该元及其相应的离散双参数元插值都满足各向异性插值.本文首先把形函数空间修改后的不完全双二次矩形板元利用“双参数法”构造了一个8自由度-12参矩形板元（即8-12-2元）,证明了该元的最优各向异性插值误差及其相容误差. 另一方面,近几年石钟慈发现一些板元的非协调误差可以达到O（h2）,文献[21]中将这个结果一般化,并给出了相容误差阶可以达到O（h2）的三个判别条件.尽管已经发现很多板元具有此性质,但所有的这些矩形板元都至少有12个自由度,形函数包含完全的3次多项式空间.本文的8自由度-12参矩形板元并不包含完全的3次多项式空间,并且也不满足文献[21]中的后两个重要判别条件.我们绕开了传统的非协调误差估计方法,利用单元的特殊构造主要在一个单元内部进行误差分析,在不要求正则性和拟一致的条件下,证明了其非协调误差可以达到O（h2）. 到目前为止,对于非协调板元的超收敛性分析还是空白,关键是因为相应的理论匮乏而且难度太大.本文探讨了8-12-2元对于双调和方程的的超收敛性,不但得到了其一系列的重要恒等式和超逼近性,而且还得到了自然的点态超收敛以及整体超收敛,值得指出的是我们的分析还是各向异性的. 求解四阶椭圆奇异摄动问题的有限元应该是对二阶椭圆问题和四阶椭圆问题都收敛的板元,并且要关于小参数e一致收敛.最近,文献[45,46]提出了一些对四阶椭圆奇异摄动问题C0非协调板元以及非C0非协调板元收敛的判定定理,并提出相当一批收敛的板元,但均不能用于各向异性网格剖分.本文在各向异性网格下,分析了两个均不满足文献[45,46]条件的非协调板元,即ACM元与8-12-2元,她们却可以用来

论文目录

• 前言
• 第一章 预备知识
• §1.1 泛函分析与Sobolev空间中的一些符号和基本定理
• §1.2 有限元方法中的基本概念与定理
• §1.3 双参数法的基本理论
• 第二章 一个新的双参数板元及其各向异性分析
• §2.1 各向异性元的插值理论
• §2.2 各向异性双参数矩形板元
• §2.3 8-12-2元的各向异性收敛性
• 第三章 超收敛性分析
• §3.1 高精度非协调误差估计
• §3.2 8-12-2元的超收敛结果
• §3.3 数值算例
• 第四章 四阶椭圆奇异摄动问题
• §4.1 引言
• 0非协调板元的误差估计'>§4.2 各向异性 C⁰非协调板元的误差估计
• 0非协调板元的误差估计'>§4.3 各向异性 C⁰非协调板元的误差估计
• §4.4 数值算例
• 参考文献
• 附录:攻读硕士期间发表文章
• 致谢