非线性差分方程边值问题正解的存在性与多重性

论文摘要

本博士论文应用临界点理论及其推广–非光滑临界点理论研究二阶自伴差分方程、共振差分方程、p-Laplace差分方程以及含参数半正差分方程边值问题的正解.简而言之,我们将求这些差分方程边值问题正解的问题转化为求适当函数空间上对应泛函的临界点问题,得到了一系列新的结果.全文分为五章.第一章简述了问题产生的历史背景及其研究进展、本文的主要工作以及预备知识.第二章研究了二阶自伴差分方程在两类不同边值条件下的正解.当非线性项是奇函数时,在Neumann边值条件Δu（0） = 0,Δu（T） = 0下,应用Clark定理得到了方程的多个正解.另一方面,当非线性项非负且在0+和+∞是渐近线性的情况下,应用山路引理研究了方程在混合边值条件u（0） = 0,Δu（T） = 0下正解的存在性.第三章首次考虑了共振差分方程边值问题的正解.我们构造了问题的对应泛函.在非线性项是奇函数的情况下,利用Goeleven和Motreanu给出的一个定理,得到了问题存在多个正解存在的一些充分条件.第四章考虑了一类p-Laplace差分方程边值问题的正解.当p = 2时,应用Clark定理,得到了问题的多个正解.当p≠2时,应用三临界点定理,证明了问题至少存在两个正解.第五章首次利用非光滑临界点理论讨论了一类含参数半正差分方程边值问题的正解.在单参数的情形下,利用非光滑三临界点定理,证明了半正问题至少存在两个正解.在多参数的情形下,利用非光滑山路引理和上下解方法,研究了半正问题正解的存在性、多重性和不存在性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 问题的提出及研究进展
• 1.1.1 问题的提出
• 1.1.2 研究进展
• 1.2 本文的主要工作
• 1.3 预备知识
• 1.3.1 临界点理论简述
• 1.3.2 定义与定理
• 第2章 两类自伴差分方程边值问题的正解
• 2.1 引言
• 2.2 问题（2.1）的变分结构
• 2.3 问题（2.1）的主要结果及其证明
• 2.4 问题（2.2）的变分结构
• 2.5 问题（2.2）的主要结果及其证明
• 第3章 共振差分方程的正解
• 3.1 引言和主要结论
• 3.2 定理3.1的证明
• 3.3 定理3.2的证明
• 3.4 定理3.3的证明
• 第4章 p-Laplace差分方程边值问题的正解
• 4.1 引言
• 4.2 p = 2的情形
• 4.2.1 主要结果
• 4.2.2 主要结果的证明
• 4.3 p ≠ 2的情形
• 4.3.1 变分结构及基本引理
• 4.3.2 主要结论及其证明
• 第5章 含参数半正差分方程边值问题的正解
• 5.1 引言
• 5.2 单参数情形
• 5.2.1 变分结构与基本引理
• 5.2.2 主要结果及其证明
• 5.3 多参数情形
• 5.3.1 引言和主要结果
• 5.3.2 变分结构与基本引理
• 5.3.3 主要结果的证明
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录