一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题

论文摘要

传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法.关于传染病模型的研究已经取得了很多成果,而大部分学者都假设种群数量不变,用微分系统来描述传染病模型的,然而在现实生活中,在某一区域中,人口流动性是很大的,而且出生率、自然死亡率以及患者的因病死亡率等,对种群总数有很大的影响,同时对疾病的传播、流行时间等也有很深的影响,这时不分情况的假设人口数量不变是不科学的,也是不符合实际的.在疾病爆发的早期,由于没有很好的治疗措施和疫苗手段,这时对传染病进行控制的最好的办法就是隔离.隔离控制作为一种有效的方法在传染病中得到了广泛的应用,但是对于这种方法的理论上的研究还是较少,研究的成果也多是在单纯控制疾病人数一方面而不考虑控制代价进行隔离的.然而任何控制都是需要付出代价的,有时候可能会出现控制过度(如当疾病不需要高强度的控制也能很快消除时,而采取了高强度的控制,这样就给国家造成了资源的浪费).鉴于这些,本文的模型考虑了种群的输入输出、出生率、自然死亡率和因病死亡率,对SIR传染病模型进行改进,建立了微分代数系统,对模型进行了稳定性分析,应用最优控制理论给出了对传染病进行控制的最优控制方案.其内容主要如下：1.在SIR传染病模型的基础上,考虑染病者的因病死死亡率,建立了带有常数输入微分代数系统,并对该模型进行了分析.分别针对无染病者输入和有染病者输入两种情形讨论了系统无病平衡点和地方病平衡点的存在性和稳定性,得到了平衡点稳定的充分条件.同时也找到了影响平衡点稳定性的参数接触率的临界值β*,对应β*找到了系统的基本再生数R0.2.对于新爆发的传染病,一般会缺乏有效的疫苗和治疗手段,所以进行隔离是控制传染病的最有效的方法.本文基于SIR传染病模型,对染病者Ⅰ进行隔离,引入了隔离策略的控制变量J,讨论了隔离控制在传染病控制中的应用.利用极值原理给出了最优控制的设计方案.此外通过仿真对最优控制方案和常值控制方案进行了比较,验证了最优控制的优越性.同时也指出了,在疾病爆发的初期应该尽量的加强隔离.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 传染病模型研究的意义
• 1.2 传染病动力学的基本概念
• 1.3 传染病模型的基本形式
• 1.4 传染病模型及其控制问题的研究现状
• 1.4.1 传染病模型的研究现状
• 1.4.2 传染病控制问题的研究现状
• 1.5 本文结构及主要研究结果
• 第2章 预备知识与模型描述
• 2.1 引言
• 2.2 预备知识
• 2.2.1 微分代数系统的相关知识
• 2.2.2 微分代数系统的极值原理
• 2.3 模型的建立
• 第3章 稳定性分析
• 3.1 引言
• 3.2 无染病者输入时平衡点的存在性和稳定性
• 3.3 有染病者输入时平衡点的存在性和稳定性
• 3.4 数值例子
• 3.5 本章小结
• 第4章 模型的最优隔离控制
• 4.1 引言
• 4.2 最优控制系统
• 4.3 最优控制的存在性
• 4.4 最优隔离控制
• 4.5 数值仿真
• 4.6 本章小结
• 第5章 结论与展望
• 参考文献
• 致谢