机构运动学若干问题及其代数法理论研究

论文摘要

结合目前机构运动学中部分尚未解决的热点、难点问题,本文以四元数、倍四元数、矩阵论和机器人机构学为基础,采用数值计算探索,代数法求解,数值计算验证的研究方法,对机构运动学中若干问题及其代数法进行理论研究,解决了平面机构和空间机构运动学中一些难题。主要研究内容与创新成果如下:（1）解决了给定固定铰链位置的平面铰链四杆机构五精确点轨迹综合代数解问题。构造了23×23的Sylvester结式,首次获得了该问题的一元36次方程及其全部封闭形式的解析解;并使用同伦连续法对同一个数字算例进行数值验证,结果表明,该问题在复数域内最多有36组解。（2）采用倍四元数的复指数形式,改进了一种空间6R串联机构位置逆解新算法。基于倍四元数建立了空间6R串联机构位置逆解数学模型,构造了6×6的Dixon结式,不需要提取任何公因式,直接获得了该机构位置逆解的一元16次方程及其全部封闭解。（3）改进了传统并联机构中构型复杂、求解难度较大的空间一般6-6型平台以及空间一般6-6型台体2种并联机构的位置正解代数解问题。分别构造了10×10、18×18的Sylvester结式,获得了位置正解的一元20次、40次方程及其全部解析解,其结式尺寸较小。同时,从理论上阐明了存在多个不同的结式可以获得两种机构的位置正解代数解。（4）解决了台体型5SPS-1CCS、台体型4SPS-2CCS两种新型并联机构位置正解的解析解问题。应用Mourrain簇理论对数学模型解的个数进行了理论分析,得出两种新并联机构位置正解上限分别为160、320;并应用同伦连续法进行数值计算,获得了两种机构的全部位置正解,结果表明两种机构位置正解上限是可以达到的。同时得出结论,把一般6-SPS台体并联机构中的1（或2）条运动链SPS改变为CCS后,可以使并联机构位置正解数目增加到原来的2倍（或4倍）。（5）提出了一种求解空间6-6型平台并联机构以及对称结构6-6型平台并联机构位置正解的符号消元算法。基于计算机符号运算,分别利用计算机代数系统中的分次字典序Groebner基算法求解约化Groebner基和本论文提出的算法求解非约化Groebner基,推导出2组均含15个多项式方程并可直接用于求解空间6-6型平台并联机构位置正解的方程组,实现了该方程的数学机械化推导。与计算机代数系统中提供的算法相比,基于新算法推导出的非约化Groebner基表达形式更加简洁,运算效率更高。同时,运用该方程组,解决了对称6-6型平台并联机构位置正解代数解问题,获得了该问题的一元14次方程及其全部28组封闭解。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 论文选题依据及其意义
• 1.2 国内外研究现状的综述
• 1.2.1 平面铰链四杆机构轨迹综合
• 1.2.2 空间一般6R串联机构位置逆解
• 1.2.3 空间并联机构位置正解
• 1.2.4 机械化求解
• 1.3 研究课题来源及主要研究内容
• 第2章 运动学数学建模及非线性方程组求解的基本理论
• 2.1 引言
• 2.2 四元数
• 2.2.1 基本定义
• 2.2.2 四元数的基本代数运算
• 2.2.3 四元数在刚体定位问题中的应用
• 2.3 倍四元数
• 2.4 结式消元法
• 2.4.1 Sylvester结式消元法
• 2.4.2 迪克逊（Dixon）结式消元法
• 2.5 GROEBNER基法
• 2.5.1 Groebner基法基本概念
• 2.5.2 Groebner基法的基本步骤
• 2.5.3 Groebner基法的特点
• 2.5.4 改进的非约化Groebner基算法的基本步骤
• 2.6 同伦连续法
• 2.7 本章总结
• 第3章 平面四杆机构五精确点轨迹综
• 3.1 引言
• 3.2 数学模型
• 3.3 消元过程
• 3.3.1 求解分次字典序Groebner基
• 3.3.2 减小结式阶数
• 3.3.3 获取一元高次方程
• 3.3.4 求解其他变量
• 3.4 同伦连续法求解
• 3.5 数值算例
• 3.6 结论
• 第4章 空间6R串联机构位置逆解新算法
• 4.1 引言
• 4.2 数学建模
• 4.3 消元过程
• 4.4 其他变量求解
• 4.5 数值算例
• 4.6 小结
• 第5章 空间并联机构位置正解
• 5.1 引言
• 5.2 空间6-6型平台并联机构位置正解
• 5.2.1 数学模型
• 5.2.2 消元过程
• 5.2.3 同伦连续法求解
• 5.2.4 数字实例
• 5.2.5 小结
• 5.3 空间6-6型台体并联机构位置正解
• 5.3.1 数学建模
• 5.3.2 消元过程
• 5.3.3 数字实例
• 5.3.4 小结
• 5.4 台体型5SPS-1CCS广义并联机构位置正解
• 5.4.1 数学建模
• 5.4.2 方程组分析
• 5.4.3 双线性方程的转化
• 5.4.4 求解方程组
• 5.4.5 数字实例
• 5.4.6 小结
• 5.5 台体型4SPS-2CCS广义并联机构位置正解
• 5.5.1 数学建模
• 5.5.2 方程组分析
• 5.5.3 方程组求解
• 5.5.4 数字实例
• 5.5.5 小结
• 5.6 本章总结
• 第6章 空间6-6型平台并联机构位置正解的符号消元算法
• 6.1 引言
• 6.2 数学建模
• 6.3 消元过程
• 6.3.1 消去数学模型中的6个变量
• 6.3.2 结式构造过程
• 6.3.3 一元高次输入输出方程
• 6.3.4 其他变量的求解
• 6.4 数字实例
• 6.5 对称6-6型平台并联机构位置正解
• 6.5.1 数学建模
• 6.5.2 消元过程
• 6.5.3 其他变量的求解
• 6.5.4 数字实例
• 6.6 本章总结
• 第7章 结论与展望
• 7.1 总结
• 7.2 展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士学位期间发表的学术论文
• 攻读博士学位期间科研与获奖