可加泛函的渐近性

论文摘要

设E为局部紧的Hausdorff空间，B（E）为E上的σ-代数，m为（E，B（E））上的σ-有限测度，且supp[m]=E。（ε，D（ε））为L2（E，m）上正则的对称狄氏型，其联系的对称Hunt过程记为X=(Ω，F，（Ft）t≥0，（Xt）t≥0，（Px）x∈E)。设ρ∈D（ε），（?）为ρ的一个拟连续版本。由Fukushima分解知Mtρ及Ntρ分别是鞅可加泛函及零能量连续可加泛函。本文主要研究极限问题（?） 1／t log Ex(eNtρ。由于Ntρ不一定为有界变差过程，所以我们无法直接运用[45]中的结果。又由于过程的一般性，我们也不能直接应用文[44，50]的方法。这里我们采用Girsanov变换的方法，把无界变差过程转化为有界变差过程，重点讨论变换后新过程的性质，再运用[45]中的相关结果，从而使问题得到解决。第二章中首先给出对称Hunt过程X满足一定的假设时有这里（Q，D（ε）b）为随后我们给出扩散过程及α-stable like过程的例子来说明上述定理是成立的，从而我们的结果推广了文[44，50]的结果。在第三章和第四章中讨论布朗运动及一般的扩散过程在Girsanov变换后的性质，从而得到一些新的结果，这些结果补充了[45]的结果。本文的难点在于Girsanov变换后新过程转移密度函数的存在性及是否受控制。据作者所知，目前虽有大量文献研究Girsanov变换后过程联系的二次型，但很少有文献研究Girsanov变换后过程转移密度函数的性质。我们对此问题作了一些探讨，得到某些过程在变换后转移密度函数的一些性质。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 问题背景、基本概念和基础知识
• §1.1 问题的背景与主要结果
• §1.2 狄氏型与过程介绍
• §1.3 测度与狄氏型的扰动
• 第二章 关于对称Hunt过程的可加泛函的渐近性
• §2.1 引言
• §2.2 过程的遍历性
• §2.3 Girsanov变换、Feynman-Kac变换和h-变换
• §2.4 可加泛函的渐近性
• §2.5 例子
• 第三章 布朗运动在Girsanov变换下的性质及可加泛函的渐近性
• §3.1 引言
• §3.2 布朗运动在Girsanov变换下的性质
• §3.3 关于布朗运动的可加泛函的渐近性
• 第四章 关于扩散过程的可加泛函的渐近性
• §4.1 引言
• §4.2 生成元为L=1/2▽·（a▽）的扩散过程
• §4.3 生成元为L=1/2▽·（a▽）+b▽的扩散过程
• 参考文献
• 作者在攻读硕士学位期间的工作
• 致谢
• 答辫委员会决议