论文摘要
1937年，Estermann[1]证明了方程p1+p2+m2=N解数的渐进公式，其中p1，p2是素数，而m是正整数。2003年，Rakhmonov[2]在更严格的条件下重新研究了这个问题并得到一个渐进公式，这个更严格的条件是上述方程中的三个被加数几乎相等。Rakhmonov在证明Estermann定理的过程中用到小区间上素变数三角和的估计（见[3]，[4]）与特殊三角和的估计。展涛[5]关于小区间上密度定理的结果在该定理的证明中起了很重要的作用。1938年，Hua[6]把这个问题推广到素变数的情形，证明了每一个大奇数都可以表为两个素数与一个素数的k次方的和。1994年，Liu[8]在其博士论文中在p1，p2与p3k几乎相等的条件下改进了Hua的这个结果。在这篇论文中，我们研究方程p1+p2+mk=N当N充分大时在p1，p2与mk几乎相等的条件下解的情况，其中k是一个大于1的正整数。我们得到此方程解数的渐近公式，从而推广了Rakhmonov[2]的结果。我们要证明的定理如下：定理．设N是一个充分大正整数，k是一个大于1且固定的自然数，C是一个常数，I（N，H）定义为N表示成两个素数p1，p2与一个正整数m的k次方的和且满足条件|pi-N／3|≤H，i=1，2，|mk-N／3|≤H的表法的个数。那么，对于H≥N1-1／2kLC／2+1，L=log N，下列渐进公式成立：I（N，H）=3σ（N）H2/k（N／3）1-1／kL2+O(H2／N1-1／kL3)，其中σ（N）=multiply from P（1+（N/P）k1/（p-1）2），（N/p）k由（3.6）定义。在定理的证明过程中，我们需要以下两个命题和一个引理。命题0.1．对实数t，定义‖t‖=min（{t}，1-{t}）。设α=a／q+λ，（a，q）=1，q≤τ，|λ|≤1／qτ，τ≥10k(2k-1-1)yxk-2，y≤x，以及则下面关系式成立：T（α；x，y）=sum from x-y＜n≤x e（αnk）=y/q sum fromν=0 to q-1 e（aνk+mν/q）γ（λ；x，y）+O（q），其中γ（λ；x，y）=integral from n=0 to 1 e（λ（x-uy）k-m（x-uy）/q）du.命题0.2．设α=a/q+θ/q2，（a，q）=1，|θ|≤1．定义T=T（α；x，y）。则|T|（?）y（logyq）C（1/q+1/y+q/yk）1/2k.引理0.3．[4]令S（α；x，y）=sum from x-y＜≤x∧（n）e（αn），α=a/q+λ，（a，q）=1，|λ|≤1/qτ，1≤q≤τ，其中x，y和τ满足如下条件：x≥x0＞2，y≥hx（c-1）／cexp（logx）0.76，τ≥y2/xh，h≤x1／c，q≤h.则下面关系式成立：S（α；x，y）=μ（q）sinπλy/πλe（λ（x-y/2））+O(ylB+3/q1/2F（q，x），其中l=logx，b是固定的绝对的非负常数，并且