扭转问题的重心有限元算法

论文摘要

扭转问题是弹性力学中的常见问题,解决扭转问题的关键,在于求解其应力函数所满足的二阶偏微分方程。对于形状规则的截面,可以通过解析方法求出应力函数,进而根据弹性力学扭转方程求出剪应力值、抗扭刚度、单位扭转角和翘曲函数等；而对于形状复杂或者复连通区域截面的扭转,很难利用解析的方法进行分析,由于有限元方法在求解偏微分方程中具有重要的应用,故可以采用有限元方法分析复杂截面的扭转问题。传统有限元法的单元划分局限于三角形或四边形,难以满足插值函数的位移协调性要求,基于平均值插值的重心有限元方法,则采用多边形单元网格,具有单元数目少,计算精度较高的优点。本文拟采用重心有限元方法分析不同截面形状下的扭转问题。本文以杆件扭转和重心有限元为主线,进行了以下方面的工作和研究：一：归纳了分析扭转问题的两种主要方法：解析法和数值法。解析法又可分为位移法、共轭函数法、翘曲函数法等；数值方法主要包括有限元法、有限差分法、边界元法等。二：论述了扭转问题的基本方程,为扭转算例的进行做了铺垫。三：推导了多边形单元上平均值插值函数的数学表达式；编写了多边形单元上平均值插值函数计算程序。平均值插值函数可以在多边形单元上进行插值,满足插值函数的协调性要求,不含待定参数,不需要进行等参变换,与传统的Wachspress插值函数和Laplace插值函数相比,平均值插值更具优越性。多边形单元平均值插值函数的误差随单元尺寸的减小而降低,随着多边形单元尺寸的减小,重心有限元法的数值解将逐渐收敛于精确解。四：本文采用重心有限元方法分别计算了椭圆截面、三角形截面、半圆槽截面、同心圆管截面的扭转应力函数,分别求出了剪应力值、抗扭刚度、单位扭转角、翘曲函数。数值算例结果表明该方法具有较好的的精度。重心有限元方法的单元划分可采用多边形,突破了传统有限元方法只能采用三角形或四边形划分单元的限制,使得区域网格的划分更加随意和灵活；另外,重心有限元方法采取中心三角形数值积分方案,从而简化了计算程序的编写过程,具有较高的操作性；此外,多边形单元的采用使重心有限元法总单元个数减少,从而降低了计算成本,提高了计算效率,数值算例表明,较高的计算精度。与传统的有限元方法相比,重心有限元方法在数值模拟方面更具优越性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 研究现状
• 1.3 研究进展评述
• 1.4 主要研究内容
• 第二章 扭转问题的基本方程
• 2.1 引言
• 2.2 扭转问题的基本方程
• 2.3 扭转翘曲函数的公式推导
• 2.4 扭转问题的性质
• 2.5 本章结论
• 第三章 扭转问题的重心有限元方法
• 3.1 引言
• 3.2 重心有限元插值及Galerkin法离散
• 3.3 扭转问题的重心有限元方法
• 3.4 本章结论
• 第四章 扭转算例的重心有限元分析
• 4.1 引言
• 4.2 杆件扭转算例分析
• 4.3 复连通截面杆件扭转分析
• 4.4 本章结论
• 第五章 结论与展望
• 5.1 结论
• 5.2 展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间论文发表及科研情况