无约束最优化问题的张量方法研究

论文摘要

本文主要借助张量来研究无约束优化问题。为此,我们首先研究带信赖域约束的目标函数为四阶张量模型的最优化问题的求解算法,然后将此方法应用到无约束优化问题中,从而建立起无约束优化问题的张量方法。最后我们分析了算法的全局收敛性。本文分五章叙述。 第一章主要介绍了将张量方法引入信赖域算法的研究现状,以及在此基础上本文主要的研究工作,然后介绍了张量模型的形成及求解过程。 第二章主要是研究目标函数为张量模型的信赖域子问题在张量模型的非稳定点的下降方向及最优步长的求法。为此,我们首先将张量模型看作是关于其下降方向的函数,并且将张量模型在其非稳定点关于这一点的下降方向进行Taylor展开,使其转化成关于原张量模型非稳定点的步长与下降方向的张量模型。然后,我们分为原张量模型的非稳定点或稳定点在信赖域内和信赖域边缘两种情况讨论与每一种情况对应的约束条件的等价变形。其次,我们研究原张量模型在其非稳定点下降方向的选取。最后,我们将已得到的下降方向代入进行Taylor展开后的张量模型,并且将原约束优化问题的约束条件进行相应的等价变形,从而将原约束优化问题转化成关于步长的一维函数的约束优化问题,得到原张量模型在相应的约束条件下沿其在这一非稳定点下降方向的最优步长。 第三章主要是研究目标函数为张量模型的信赖域子问题在张量模型的稳定点的下降方向及最优步长的求法。我们首先将张量模型看作是关于其下降方向的函数,并且将张量模型在其稳定点关于这一点的下降方向进行Taylor展开,使其转化成关于原张量模型稳定点的步长与下降方向的张量模型。然后我们分为原张量模型稳定点的Hessian矩阵有负特征值和Hessian矩阵的所有特征值非负且存在零特征值两种情况研究原张量模型在其稳定点下降方向的选取。最后,我们将已

论文目录

• 第一章 引言
• §1.1 问题的提出及发展
• §1.2 张量模型的形成及求解
• 第二章 带box约束张量模型优化问题在非稳定点下降方向及最优步长的求法
• §2.1 约束条件的相关变形
• §2.2 当q≠0时下降方向的确定
• §2.3 当q≠0时最优步长的确定
• 第三章 带box约束张量模型优化问题在稳定点下降方向及最优步长的求法
• §3.1 当q=0时下降方向的确定
• §3.2 当q=0时最优步长的确定
• 第四章 带box约束张量模型优化问题的算法及收敛性分析
• §4.1 算法
• §4.2 收敛性分析
• 第五章 算法在无约束优化中的应用
• §5.1 算法
• §5.2 算法的全局收敛性
• 参考文献
• 硕士生期间（接收）发表的论文
• 致谢