非线性项可变号的奇异微分方程的正解

论文摘要

奇异微分方程初、边值问题的研究近年来获得了很大程度的发展，奇异型微分方程是近十年来十分活跃的微分方程理论的重要分支，目前已经得到了很多不同条件下解的存在性结果，例如，国内的杨光崇，葛渭高，国外的DonalO’Regan，Ravi P. Agarwal和Stanek等都已经做了很多研究工作，目前研究的大多是非线性项f＞0时正解的存在性，f可变号时正解的存在性研究的还很少。本论文研究的就是f可变号时正解的存在性。本论文共分三章，主要利用锥上的不动点指数理论来讨论奇异以及非线性项可变号对微分方程所产生的影响，从而得出非线性项可变号的一阶奇异微分方程和二阶奇异微分方程初边值问题的正解。在第一章中，我们研究二阶非线性奇异初值问题正解的存在性（1）其中f（t，y，y′）可变号并且在y=0和y′=0处奇异。（2）在第二章中，我们研究二阶非线性奇异边值问题正解的存在性其中f（t，y，py′）可变号并且在y=0和py′=0处奇异。Donal O’Regan和Ravi P. Agarwal讨论了f＞0时，（1）和（2）正解的存在性。他们利用条件：（a）f（t，u，p）≤h（u）[g（p）+r（p）]；（6）f（t，u，p）≥ΨH，L（t）uγ，（t，u，p）∈[0，1]×[0，H]×(0，L]通过构造不带奇异的近似方程使问题得到解决。本论文的前两章将他们研究的问题改进，考虑f变号时正解的存在性。解决的方法是：通过构造特殊的算子序列并结合类似于（a）的条件以及，（t，y，py′）≥β（t），|py′|≤δ，使非线性项F（T，y，py′）克服f变号以及在y=0和（或）py′=0处奇异带来的困难，再用锥上的不动点指数定理得到算子序列的不动点，然后用Ascoli定理得出所研究方程的近似解。在第三章中，我们研究一阶非线性奇异初值问题正解的存在性（3）其中f（t，y）可变号并且在y=0处奇异。Donal O’Regan和Ravi P. Agarwal曾经讨论过这个问题，他们用了两个比较特别的条件来克服f变号和奇异带来的困难：（1）存在一个不增的常数列ρn且（?）ρn=0，使f（t，ρ）≥0，T／n≤t≤T；（2）存在一个函数α∈C[0，T]∩C1(0，T]，α（0）=0，α（t）＞0，t∈(0，T]，使q（t）f（t，y）≥α′（t），（t，y）∈(0，T]×{y∈（0，∞）：y＜α（t）}。这一章我们也是通过构造特殊的算子序列并利用条件：f（t，y）≥β（t），（t，y）∈（0，T）×(0，δ]来克服非线性项f（t，y）变号带来的困难并消除在y=0处的奇异性，然后用锥上的不动点定理得到算子列的不动点，再利用Arzela-Ascoli定理来逼近方程（3）的正解。本文给出的条件更弱，方法更简单。文章不但对每一个存在性定理作了详细的证明，而且在每一章的最后都对每一个存在性定理都举了例子进行说明。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 前言
• 第一章 非线性项可变号且依赖于y′的二阶奇异初值问题正解的存在性
• 1.1 引言及预备知识
• 1.2 f在y′=0奇异但在y=0不奇异时正解的存在性
• 1.3 f在y=0奇异但在y′=0不奇异时正解的存在性
• 1.4 f在y=0和y′=0都奇异时正解的存在性
• 1.5 应用与举例
• 第二章 非线性项可变号且依赖于py′的二阶奇异边值问题正解的存在性
• 2.1 引言及预备知识
• 2.2 f在py′=0奇异但在y=0不奇异时正解的存在性
• 2.3 f在y=0奇异但在py′=0不奇异时正解的存在性
• 2.4 f在y=0和py′=0都奇异时正解的存在性
• 2.5 应用与举例
• 第三章 非线性项可变号的一阶奇异初值问题正解的存在性
• 3.1 引言及预备知识
• 3.2 正解的存在性定理
• 3.3 应用与举例
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间完成的学术论文
• 致谢