非标准分析理论在模糊拓扑学中的应用

论文摘要

本文在非标准扩大模型下,定义了模糊拓扑空间的邻近结构的单子,并对模糊拓扑空间中的多种概念、结论进行了非标准的描述和刻画,从非标准分析的角度研究和发展了模糊拓扑空间的原有结论。一方面,利用非标准分析理论使模糊拓扑学的本质特性得以显现,发现它与一般拓扑学有着密切的、本质的内在联系;另一方面,通过对模糊拓扑空间的概念的非标准刻画,更加体现了模糊拓扑的层次结构,这又是与一般拓扑学有所不同的。 在第一部分里,我们首先对非标准分析理论进行了简单的概述,通过对非标准分析理论中的公理的描述,给出了公理化的非标准分析理论,进而利用非标准模型的构造,证明了非标准模型的存在性和非标准分析理论中公理的一致性。其次,讨论了非标准模型的简单性质,如传递性,布尔代数运算性质等。最后,特别讨论了非标准扩大模型,并给出了非标准扩大模型的若干充要条件及推论。 第二部分,我们先对模糊集合和它的运算进行了非标准扩张,这就把非标准分析理论引入到了模糊数学中。接下来,利用共点原理,将非标准扩大模型也引入到模糊数学中,这使得非标准扩大模型具有了模糊运算的表达形式。最后,介绍了模糊拓扑空间的定义,在此基础上,讨论了模糊拓扑学中常用的三种邻近结构:邻域、重域和远域,利用非标准分析理论中的单子的相关知识,分别定义了N-单子、Q-单子和R-单子,并证明了它们相应的逼近定理和彼此相互间的关系。这将是本文的主要工具。 本文在接下来的章节里分别对模糊拓扑空间的Moore-Smith收敛理论,模糊拓扑空间的分离公理,模糊拓扑空间的紧性等进行了非标准刻画,并利用这些结果证明了一些相关的定理和结论。 通过本文的研究,不但使模糊拓扑学中原有的概念、结论的本质特性更为清晰简洁,而且丰富了非标准分析理论的应用领域。

论文目录

• 1.绪论
• 1.1 引言
• 1.2 非标准分析的产生和发展状况
• 1.2.1 非标准分析的产生和发展
• 1.2.2 国内非标准分析研究现状
• 1.3 本课题的主要研究内容及意义
• 2.公理化非标准分析
• 2.1 标准理论的准备
• 2.2 非标准分析中的公理
• 2.3 非标准模型的存在性
• 2.4 非标准模型的一些基本性质
• 2.5 扩大和共点关系
• 3.模糊学的基本概念
• 3.1 模糊拓扑学简介
• *-模糊集合'>3.2 模糊集合与^*-模糊集合
• 3.2.1 模糊集合的定义与运算
• *-模糊集合的定义与运算'>3.2.2^*-模糊集合的定义与运算
• 3.3 扩大模型在模糊数学中的充要条件
• 3.4 模糊拓扑空间中的邻近结构及其单子
• 3.4.1 邻域及N-单子
• 3.4.2 重域及Q-单子
• 3.4.3 远域及R-单子
• 4.模糊拓扑空间的MOORE-SMITH收敛的非标准刻画
• 4.1 模糊拓扑空间中的网
• 4.1.1 N-收敛
• 4.1.2 Q-收敛
• 4.1.3 R-收敛
• 4.2 模糊拓扑空间中的滤子
• 4.3 模糊拓扑空间中的理想
• 5.模糊拓扑空间的分离公理的非标准刻画
• 5.1 T分离
• *分离'>5.2 T^*分离
• 6.模糊拓扑空间的紧性的非标准刻画
• 6.1 拟紧性
• 6.2 Q-紧
• 致谢
• 参考文献
• 附录：硕士研究生学习阶段发表论文、参与项目