非光滑函数在奇异空间上的微积分

论文摘要

十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨创立了微积分理论,从而把两个貌似毫不相关的问题（一个是切线问题,一个是求面积问题）联系在一起.从那以后,该理论有了广泛的应用,但是还有许多微积分基本定理无法解决的问题.到了十九世纪末,为了了解微积分基本定理在更广的范围的有效性,人们提出了非光滑函数的微积分.近年来在分析和几何的发展过程中,微积分已经超越了经典的光滑情况.这些研究已经应用到了几何刚体问题.由光滑空间到可能进行积分的奇异空间的发展过程与由光滑函数到具有弱（广义）导数的发展过程类似,微积分在光滑空间及光滑函数的条件下已经建立了比较完备的理论,且其上的微积分基本定理及其推广也已经很完备了,本文就非光滑积分在近年来的发展进行了一些综述.本文共分四章,第三章和第四章是本文的主要内容,在第三章里,首先给出了Sobolev空间的各种定义之后讨论了其上的Sobolev-Poincaré不等式;在第四章里,首先给出了奇异空间的定义并讨论了一些例子及其上微积分的可行性,然后给出了可测度量空间上的Sobolev-Poincaré不等式.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景来源及现状
• 1.2 本文主要研究内容及文章结构
• 1.2.1 本文的主要研究内容
• 1.2.2 文章结构
• 第2章 预备知识
• 2.1 一些基本定义
• 2.2 广义函数
• 2.3 从一个变元的绝对连续函数到多个变元的绝对连续函数
• 2.3.1 一个变量的绝对连续函数
• 2.3.2 多个变量的绝对连续函数
• 2.4 本章小结
• 第3章 Sobolev空间与Sobolev-Poincaré不等式
• 3.1 Sobolev空间
• 3.2 Sobolev-Poincaré不等式
• 3.3 容度和模
• 3.3.1 容度
• 3.3.2 模
• 3.4 本章小结
• 第4章 奇异空间与Sobolev-Poincaré不等式
• 4.1 奇异空间
• 4.1.1 利普希兹映射
• 4.1.2 光滑空间
• 4.1.3 奇异空间
• 4.2 奇异空间的例子
• 4.2.1 Alexandrov 空间
• 4.2.2 子黎曼空间
• 4.2.3 度量空间的收敛性
• 4.2.4 切空间
• 4.2.5 作为极限空间的奇异空间
• 4.2.6 几何分解空间
• 4.3 齐次型空间
• 4.4 在可测度量空间上的Sobolev空间
• 4.4.1 可测度量空间上的模
• 4.4.2 上梯度
• 4.4.3 p- 弱上梯度
• 4.4.4 最小的p- 弱上梯度
• 1, p（X）'>4.4.5 Sobolev空间N^{1, p}（X）
• 1, p（X） 的非平凡性'>4.4.6 N^{1, p}（X） 的非平凡性
• 4.5 可测度量空间上的Sobolev-Poincaré不等式
• 4.5.1 Sobolev-Poincaré不等式
• 4.5.2 加倍p - Poincaré空间
• 4.5.3 Poincaré不等式成立的齐异空间
• 4.5.4 Poincaré不等式和Gromov-Hausdorff收敛性
• 4.5.5 Poincaré不等式的自我改进的性质
• 4.5.6 Poincaré不等式和可换性
• 4.6 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢