论文摘要
矩阵相似或等价是矩阵理论中的重要内容,在系统和控制等领域有着广泛的应用.因此,本文主要针对矩阵的相似或等价理论及其应用进行研究.本文首先介绍了域上和交换局部环上的广义线性系统理论, Galois环p k上幂等矩阵的标准形和s次幂等矩阵的伪标准形,然后介绍了含幺交换环上矩阵相似和等价的相关概念以及近年来的主要研究结论.由此可知矩阵相似实质上是局部性质,而判别局部环R上的两个矩阵是否相似的关键在于矩阵的Wasow数.众所周知,主理想整环上的矩阵一定等价于对角矩阵,并且其对角线上的元素可以写作有限个不可约元的幂次的乘积,因此本文对局部Noether主理想整环进行研究,给出了该环上矩阵Wasow数的求法.该结论表明,矩阵的Wasow数仅仅依赖于这些不可约元的幂次. Guralnick对于局部Noether主理想整环上矩阵的Wasow数曾给出两种定义,作为上述结果的应用,我们证明了这两种定义等价.然后我们讨论了局部环上矩阵的相似或等价理论在系统控制领域中的几个重要应用,其中包括局部环上正则矩阵对的性质,局部环上正则矩阵对的多种判定方法以及局部主理想整环上广义线性系统的标准形问题.
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