一类广义Sierpinski三角和Sierpinski地毯的Lipschitz等价

论文摘要

在这篇论文里,我们致力于研究随机分形的Hausdorff维数、自相似集的Lipschitz等价及其相关问题。主要研究了如下四个方面的内容：（1）一类广义Sierpinski三角的Lipschitz等价。设α=（1,0）,β=（1/2,（?）3/2）。让△={c1α+c2β:c1+c2≤1且0≤c1,c2≤1)表示一个边长为1且左下角顶点坐标为（0,0）的等边三角形。固定一个整数n≥2,令给定A （?） D,我们称EA=∪α∈A（1/nEA+a）是一个广义Sierpinski三角,初始模式为｛1/n△+α｝α∈A。在这一部分,我们利用有向图结构讨论了如上描述的广义Sierpinski三角的Lipschitz等价,获得一个由David和Semmes在其1997年出版的著作《Fractured fractals and broken dreams:Self-similar geometry through metric and measure》中提出的{1,3,5｝—{1,4,5｝问题的推广。我们证明了如果如上描述的两个广义Sierpinski三角是完全不连通的,则它们是Lipschitz等价的当且仅当它们有相同的Hausdorf维数。（2）一类广义Sierpinski地毯的Lipschitz等价。设n≥2,A（?）{0,1,...,n-1}2。我们称是一个广义Sierpinski地毯,初始模式为{1/n[0,1]2+a}a∈A。由于有连通分支的Sierpinski地毯的拓扑结构要比完全不连通的情形复杂的多,致使通常处理完全不连通的自相似集之间Lipschitz等价的强有力工具—有向图集对研究有连通分支的Sierpinski地毯的Lipschitz等价行不通,这是因为不存在任何一个有有限顶点的有向图能表示有连通分支的Sierpinski地毯。故涉及有连通分支的Sierpinski地毯的Lipschitz等价的问题一直以来是一个非常棘手的开问题。在这一部分,我们讨论了其中一类所有多于一点的连通分支为线段,被我们称之为Link-separated集的广义Sierpinski地毯的Lipschitz等价。对于任意两个同型的Link-separated集,我们从集合本身所具有的共同结构特点出发借助与它们对应的符号空间,通过把它们的各阶基本集配成对从而获得了它们之间一个双Lipschitz双射,并在这部分最后通过一些例子具体解释了我们的思想。（3）Rd上一个随机剪切集的Hausdorff维数。在这一部分,通过把随机集上的随机测度定义为与分形结构相关联的随机测度序列的极限,我们利用鞅方法讨论了Rd上一个随机剪切集的Hausdorff准数,获得一个直线上随机剪切集的Hausdorff维数结果在高维空间上的一个推广。（4）一类广义Sierpinski地毯的Hausdorff维数。在这一部分,通过在任意给定的凸四边形和三角形上构造一个不同于通常欧氏度量的度量,我们证明了如果把构造经典Sierpinski地毯的初始图形正方形换成任意一个凸四边形或者三角形,则得到的广义Sierpinski地毯与经典的Sierpinski地毯具有相同的Hausdorff维数。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 引言
• 2 预备知识
• 2.1 自相似集的构造
• 2.2 符号空间与自相似集
• 2.3 自相似结构
• 2.4 有向图结构
• 3 自相似集的Lipschitz等价及其相关主题的研究概况
• 4 一类广义Sierpinski三角的Lipschitz等价
• 4.1 符号系统、连通性与有限型
• 4.2 定理4.1的证明
• 5 一类广义Sierpinski地毯的Lipschitz等价
• 5.1 T-表达式与LS-集
• 5.2 主要结果的证明
• 5.3 一些例子
• d上一个随机剪切集的Huasdorff维数'>6 R^d上一个随机剪切集的Huasdorff维数
• 6.1 一些基本事实和概念
• 6.2 主要结论的证明
• 7 一类广义Sierpinski地毯的Hausdorff维数
• 7.1 一些基本结果
• 7.2 定理7.1的证明
• 8 有待进一步研究的问题
• 致谢
• 参考文献
• 附录1 攻读学位期间发表论文目录