论文摘要
三维流形理论是低维拓扑学的重要分支之一．目前，关于三维流形理论的研究主要有代数方法、几何方法和组合方法．在本文中，主要是采用组合方法对三维流形中的某些问题进行研究．三维流形中的组合方法，其主要研究对象是：Dehn手术、Heegaard分解、把柄添加及流形中的不可压缩曲面的存在性问题．其中，Heegaard分解与Dehn手术可以看成是特殊的把柄添加．在本文中，我们对在双曲流形上做可约的把柄添加与边界可约的把柄添加的情况进行了细致的研究．同时，本文还对某些流形（如纽结补）中的不可压缩曲面的构造问题进行了研究．1984年，C．Gordon和R．Litherland建立了标号图论的方法，C．Gordon和J．Luecke发展了这一方法．此后，组合方法在Dehn手术的研究中被广泛应用，并取得了很多重大研究成果．接下来，一个很自然的问题就是能否把标号图论的方法应用到把柄添加中来．M．Scharlemann和吴英青给出了关于把柄添加的一个大致的估计：即令M是双曲流形，α、β是M的一个亏格大于或等于2的边界分支上的两条本质的分离简单闭曲线，若M[α]和M[β]都是退化的，则△（α，β）≤14．本文对这一问题进行了更为细致的讨论，并建立了把柄添加中标号图论的弱对应规则，及发展了Virtual Scharlemann圈的概念，从而使得很多关于Dehn手术的标号图论的现有结论可以应用到把柄添加中来．进而，得到了更为精细的结果：在一个双曲流形上的亏格为2的边界分支上，至多有一个分离的边界可约把柄添加．这一结论加上Scharlemann和Wu的结论以及邱和张的结论便有：在一个双曲流形的亏格为2的边界分支上，最多有一个分离的把柄添加使得到的流形为可约流形或边界可约流形．流形中的不可压缩曲面是三维流形理论的重要研究课题之一．已有许多关于三维流形中的任意大亏格的不可压缩曲面的存在性方面的结果．本文构造了一类纽结补中的任意亏格的不可压缩曲面：设k1是一个具有本质的自由2-tangle分解的纽结，k2是任意一个不平凡的纽结．设k为k1和k2的连通和，即k=k1#k2，那么对任意的正整数n，k的补E（k）里面含有亏格为n的闭的不可压缩曲面．
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标签：可约的把柄添加论文; 边界可约的把柄添加论文; 自由的分解论文; 不可压缩曲面论文;